Демина Тселые и мероморфные функтсии 2015

3. Мероморфные функции

Доказательство теоремы 3.3 основано на применении

с последующим переходом к пределу при m → ∞. Подобный подход можно использовать и при некоторых других ограничениях на мероморфную функцию f(z).

Миттаг–Леффлер доказал теорему, обратную по отношению к теореме 3.2.

Теорема 3.4 (Теорема Миттаг–Леффлера). Каковы бы ни были последовательность полиномов {Pn(z)} и сходящаяся к бесконечности последовательность Z = {z1, z2, . . . , zn, . . .} не убывающих по модулю и различных между собой комплексных чисел, существует мероморфная функция f(z), имеющая полюсы в точках последовательности Z и только в них, причем

главная часть разложения в ряд Лорана функции f(z) в каждом

( )

1

z − zn

.

Заметим, что если мероморфная функция f(z) линейно выражается через логарифмические производные целых функций G1(z), . . . , GM (z), т.е.

где {αl(m) C, 1 ≤ l ≤ Lm, 1 ≤ m ≤ M, Lm N} — некоторые константы, то для функции f(z) представление (3.8) можно получить с помощью разложения функций G1(z), . . . , GM (z) в бесконечные произведения.

Например, построим мероморфную функцию f(z), имеющую простые полюса с единичными вычетами в точках

31

3. Мероморфные функции

последовательности Z = {z1, z2, . . . , zn, . . .}, где 0 < |zn| ≤ |zn+1|,

lim |zn| = ∞ и zk ≠ zm, k ≠ m. Пользуясь результатами раздела

n→∞

2, заметим, что функция

где pk(z) — многочлены, определяемые следующим образом

а g(z) — некоторая целая функция, является целой с простыми нулями в точках последовательности Z. Тогда логарифмическая производная

будет мероморфной функцией с требуемыми свойствами. Если же существует наибольшее целое число {, для которого ряд I

Заметим, что функция g′(z) является целой. Пользуясь представлением (3.16), нетрудно построить мероморфную функцию с полюсами произвольно заданного порядка в точках последовательности Z и фиксированными коэффициентами

32

3.Мероморфные функции

вглавной части разложения в ряд Лорана в окрестности соответствующих полюсов.

Согласно малой теореме Пикара (см. теорему 2.4) целые трансцендентные функции имеют не более одного конечного исключительного значения. Для мероморфных трансцендентных функций количество исключительных значений может увеличиться до двух.

Теорема 3.5. Мероморфная трансцендентная функция f(z) принимает любое конечное значение A C за исключением, быть может, двух в бесконечном множестве точек.

Можно рассмотреть класс однозначных функций, не имеющих в некоторой области D других особых точек, кроме, быть может, полюсов. Такие функции называются мероморфными в области D. Если область не конкретизируется, то мы будем считать, что функция f(z) мероморфна на всей комплексной плоскости, и называть ее мероморфной (без указания области мероморфности).

Задача 3.1. Разложить мероморфную функцию f(z) = cosec z на простейшие дроби.

1

Решение. Функция f(z) = cosec z = sin z имеет полюсы в точках z = πk, k Z. Вычислим вычеты в этих точках. Получим

→

Следовательно, главные части разложений в ряд Лорана имеют вид

Рассмотрим последовательность квадратов {γm, m N} с

33

3. Мероморфные функции

что функция f(z) ограничена на сторонах каждого из квадратов. Найдем вещественную и мнимую части, а также модуль функции

sin z. Имеем

√

соотношением (3.21), нетрудно убедиться в справедливости неравенств

f(z) мы не можем, поскольку ее последовательность полюсов содержит точку z1 = 0. Рассмотрим мероморфную функцию

которая также является ограниченной на сторонах квадратов γm, имеет следующую последовательность полюсов Z = {π, −π,

34

3. Мероморфные функции

2π, −2π . . .} и удовлетворяет условию (3.9) при δ = 0. Согласно теореме 3.3, справедливо равенство

Объединяя слагаемые, соответствующие полюсам πk, −πk, и вычисляя предел

{}

→

k=1

Задача 3.2. Разложить мероморфную функцию f(z) = ctg z на простейшие дроби.

Решение. Заметим, что функцию f(z) = ctg z можно линейно выразить через логарифмическую производную целой функции sin z. Действительно, f(z) = {ln(sin z)}z. Тогда, пользуясь разложением функции sin z в бесконечное произведение (2.17), находим

35

3. Мероморфные функции

π2

Решение. Прежде всего заметим, что функцию f(z) = cos2(πz)

можно представить следующим образом: f(z) = {π tg(πz)}z. Воспользуемся разложением мероморфной функции ctg z на простейшией дроби (см. пример 3.3). Справедливо равенство

и дифференцируя полученный равномерно сходящийся ряд с учетом равенства f(z) = {π tg(πz)}z, найдем

Для удобства разобьем выражение, стоящее под знаком суммы в соотношении (3.30), на два слагаемых:

36

3. Мероморфные функции

Следовательно, уравнения (3.34) и (3.35) не имеют решений при A1 = −i и A2 = i соответственно. Таким образом, мероморфная функция f(z) = ctg z имеет максимально возможное количество исключительных значений. Для любого комплексного числа A за исключением ±i уравнение ctg z = A имеет бесконечно много решений.

Задача 3.5. Выяснить, какое количество конечных исключительных значений имеет мероморфная функция f(z) = 2 th2 z − 4 th z + 1, и найти эти значения, если они есть.

Решение. Сначала найдем исключительные значения мероморфной функции th z. Рассматривая уравнение th z = A, получаем

37

3. Мероморфные функции

Решая это уравнение относительно e2z, приходим к равенствам

В силу того что целая функция e2z имеет лишь одно конечное исключительное значение z = 0, мы можем заключить, что мероморфная функция th z обладает двумя исключительными значениями A1 = 1, A2 = −1. Подставляя th z = A1 и th z = = A2 в соотношение f(z) = 2 th2 z − 4 th z + 1, видим что подозрительными на исключительные значения для функции f(z) будут: B1 = −1, B2 = 7. Далее рассмотрим выражения

Отсюда заключаем, что мероморфная функция f(z) не принимает значение B1 = −1 ни в одной точке комплексной

квадратное относительно th z, убеждаемся что исключительных значений отличных от B1 = −1 мероморфная функция f(z) не имеет. Действительно, функция th z принимает любые конечные значения (за исключением A1 = 1, A2 = −1) в бесконечном множестве точек. Значит для любых решений квадратного уравнения 2 th2 z − 4 th z + 1 = B (отличных от th z = 1, th z = = −1) мы сможем найти и бесконечно много решений уравнения th z = A.

Таким образом, мероморфная функция f(z) имеет единственное конечное исключительное значение B1 = −1.

38

3. Мероморфные функции

1

Задача 3.6. Разложить мероморфную функцию f(z) = ez − 1

на простейшие дроби.

Ответ:

k=1

Задача 3.7. Разложить мероморфную функцию f(z) = ch1z на простейшие дроби.

Ответ:

Задача 3.9. Построить меромофную функцию, имеющую два исключительных значения a и b, где a, b C, a ≠ b.

Ответ: мероморфной функцией с исключительными

39

4.Суммирование некоторых рядов

4.Суммирование некоторых рядов

Мероморфные функции f1(z) = ctg(πz), f2(z) = cosec(πz), f3(z) = tg(πz), f4(z) = sec(πz) могут быть использованы при вычислении сумм некоторых рядов. Вышеперечисленные функции имеют счетное множество простых полюсов в точках данных последовательностей:

Справедлива теорема.

Теорема 4.1. Пусть мероморфная функция F (z) имеет конечное число полюсов {a1, a2, . . . , aN }, среди которых нет точек из последовательности Zj. Пусть, кроме того, существует последовательность замкнутых положительно ориентированных жордановых кривых {γm, m N}, окружающих начало координат и не проходящих через полюсы f(z) и точки последовательности Zj, которая удовлетворяет условиям (1 − 3) теоремы 3.3, а также соотношению

40