Барменков Дополнителные главы курса ТФКП.Римановы поверкхности 2015

5. ПОСТРОЕНИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

Ранее были рассмотрены римановы поверхности аналитических функций, построенные элементарным методом. Это означает, что строились эти поверхности из «наиболее крупных кусков» однолистности данных функций и склеивались они вдоль их границ. Напомним этот метод на примере.

Пример 5.1. Применим элементарный метод для построения

которые отображаются функцией z =ew на комплексную плоскость D = z \ [0, +∞) с разрезом по положительной вещественной полу-

оси. В этом смысле области Gn в w и D = z \ [0, +∞) понимаются как «наиболее крупные куски» однолистности данных функций.

Взаимная однозначность отображения z =ew достигается следующим образом: пронумеруем остальные одинаковые экземпляры области D0 через Dn и нижний берег разреза каждого листа Dn

склеиваем с верхним берегом Dn+1 , получаем взаимно однозначное отображение

ew : Gn → Dn , n = 0, ±1, ± 2, ... .

Значит, обратная функция w = Ln z осуществляет отображение

Ln z : Dn →Gn , n = 0, ±1, ± 2, ... .

Так элементарным методом строится риманова поверхность функции w = Ln z . Такое соответствие и выделяет однозначные

11

0 < arg z < 2π .

Напомним некоторые определения.

Определение 5.1. Пусть D – выпуклая область и f (z) – функ-

ция, аналитическая и однозначная в области D. Эта совокупность функции и области называется элементом аналитической функции

(коротко, элементом) и обозначается символом {D; f (z)}. Определение 5.2. Два элемента {D1; f1 (z)} и {D2 ; f2 (z)} счита-

ются тождественными тогда и только тогда, когда D1 и D2 совпадают и f1 (z) = f2 (z) во всех точках области.

Определение 5.3. Два элемента {D1; f1 (z)} и {D2 ; f2 (z)} назы-

ваются непосредственными аналитическими продолжениями один другого, если D1 ∩D2 ≠ и f1 (z) = f2 (z) z D1 ∩ D2 .

Элементы {D1; f1 (z)}, {D2 ; f2 (z)}, ..., {Dn ; fn (z)} составляют цепь аналитических продолжений (непосредственных), если каж-

дый последующий элемент {Dj+1; f j+1 (z)} является непосредствен-

ным продолжением предыдущего. Цепь соединяет начальный эле-

мент {D1; f1 (z)} с конечным {Dn ; fn (z)} .

Определение 5.4. Множество M элементов {D; f (z)} (конечное или бесконечное) называется связным, если каждые два элемента этого множества {D0 ; f (z)} и {D*; f * (z)} являются аналитически-

ми продолжениями один другого, и если это множество вместе с каждой парой своих элементов содержит также и элементы некоторой цепи, связывающей элементы пары.

Далее предлагается построение римановой поверхности функции методом аналитического продолжения. Риману принадлежит идея такого обобщения понятия области, что любая многозначная аналитическая функция f (z) комплексного переменного z стано-

вится однозначной, если ее рассматривать как функцию точки соответствующей обобщенной области.

Пусть M – связное множество элементов {D; f (z)}. Построим область D = D . Будем рассматривать точку z, принадлежащую областям D0 и D* элементов {D0 ; f0 (z)} и {D* ; f * (z)} , как одну и

12

ту же точку тогда и только тогда, когда эти элементы являются непосредственными аналитическими продолжениями один другого

(т.е. когда f0 (z) = f * (z) z D0 ∩D* ).

Проиллюстрируем этот процесс следующим образом. Представим себе, что для каждого элемента {D; f (z)} изготовлена модель

области D в виде куска бумаги соответствующих очертаний. Процесс объединения областей {D} представим как склеивание этих

кусков вдоль тех их частей, точки которых отождествляются. Иными словами, куски, изображающие области D0 и D* элементов

{D0 , f0 (z)} и {D* , f * (z)} , склеиваются друг с другом только в случае, когда одновременно выполнены два условия: 1) D0 ∩D* ≠ ; 2) f0 (z) = f * (z) во всех точках z = D0 ∩ D* . Предполагая, что произведены все возможные склеивания областей {D} по этому закону, получим обобщенную область R, вообще говоря, многолист-

ную, расположенную над областью D .

Пример 5.2. Рассмотрим построение римановой поверхности методом аналитического продолжения для w = Ln z . Ранее уже показывалось построение этой поверхности элементарным методом (см. пример 5.1).

Отметим, что объединение всех полуплоскостей

определяют в этой области бесконечнозначную аналитическую функцию w = Ln z . В каждой из четырех полуплоскостей

(с такой полуплоскостью совпадает бесконечное множество полуплоскостей Dj , для которых j = 4n + j0 , n = 0, ±1, ±2, ...) функция

13

w = Ln z имеет бесконечное множество однозначных ветвей, выражаемых формулами

f4n+ j0 (z) =ln z +iϕ+i 2πn.

Рассмотрим указанные области

для всех целых чисел j, дающих при делении на четыре один и тот же остаток j0 . Эти области представляют одну и ту же полуплоскость

j0 π2 < ϕ< ( j0 +2) π2 ,

ограниченную соответствующей координатной осью. Представим эти области в виде бесконечного множества различных бумажных листов, сложенных в одну стопу над полуплоскостью Dj0 . Так как

j0 принимает только значения 0, 1, 2, 3, то получаем четыре стопы. Никакие два листа D4k + j0 и D4l + j0 ( k ≠l ) одной и той же стопы не

должны непосредственно склеиваться друг с другом, так как в их пересечении (совпадающем с полуплоскостью Dj0 )

Лишь листы с индексами, различающимися на единицу: Dj и Dj+1

(они принадлежат двум различным стопам), склеиваются вдоль общей части, расположенной над координатной четвертью

( j +1) π2 < ϕ< ( j + 2) π2 .

В самом деле, в этой общей части значения функций

14

и

совпадают.

В результате всех склеиваний получается бесконечнолистная область R, расположенная над соответствующей областью D ( D – плоскость z с двумя исключенными точками z = 0 и z =∞ , которые являются логарифмическими точками ветвления).

Очевидно, что для определения точки в области R недостаточно точно задать число z – аффикс этой точки. Так, в последнем примере 5.2 один и тот же аффикс 1+i имеет бесконечное множество различных точек R, расположенных на частях R, получающихся путем склеивания D−1 с D0 , D3 с D4 , D7 с D8 , …, вообще D4 k +3 с

D4 k +4 (k = 0, ±1, ± 2, ...).

В общем случае для определения точки p R нужно указать вместе с аффиксом z также и такой определенный элемент {D* ; f * (z)} , что z D* . Тогда получим однозначно определенное значение функции в этой точке f ( p) = f * (z) .

Итак, в обобщенной области R, построенной указанным способом, заданное связное множество элементов M: {D; f (z)} опреде-

ляет однозначную функцию точки. Эта функция рассматривается как аналитическая в области R. Чтобы убедиться, что понятие аналитичности непосредственно переносится на функции, определен-

ные в R, достаточно заметить: задание точки p* R предполагает задание аффикса z* этой точки и, кроме того, выделение определенного элемента {D* ; f * (z)} из M, для которого z* D* . Если это сделано, то сразу же выделяется и такая часть R, расположенная над областью D* (говорят также, что эта часть проектируется в область D* ), в которой каждую точку p можно полностью характеризовать ее аффиксом z G* (проекцией точки p ). Обобщенная

область R, описанная ранее, и является римановой поверхностью аналитической функции f (z) (определяемой данным связным

множеством элементов M).

15

Проиллюстрируем особенности римановых поверхностей для функции w = Ln z , построенных элементарным методом и методом аналитического продолжения.

Ранее рассматривалось построение данной поверхности, выполненной с помощью элементарного метода. Поверхность состояла из листов вида z \ [0, +∞) , построенных по правилу: нижний берег

разреза одного листа склеивался с верхним берегом следующего

правилу

w = Ln z = ln z +i arg z , 0 < arg z < 2π .

Аналогично,

w = Ln z = ln z +i (arg z + 2πn)

для листа Dn , n = ±1, ± 2, ... .

Наглядно сущность построения римановой поверхности с помощью элементарного метода можно продемонстрировать так: пусть точка z описывает, например, окружность радиусом R с центром в точке O, начиная от верхнего берега разреза до нижнего берега на листе (считаем, что точка z лежит на верхнем берегу разреза вдоль положительной действительной полуоси, т.е. arg z = ϕ = 0).

Достигая нижнего берега разреза функция w = Ln z принимает значение w = ln R +i 2π ( w = u + iv ). Пусть теперь точка z продолжает движение и выходит на второй круг. Поскольку ранее были проведены склеивания соответствующего нижнего берега с верхним следующего листа, то считают, что точка z будет теперь двигаться по такой же окружности на следующем листе D1 , а значение функции

будет w = ln R +i 4π. Таким образом, смена ветви функции w = Ln z происходит сразу на границе (на разрезе [0, +∞) в ком-

плексной плоскости z ).

При построении римановой поверхности методом аналитического продолжения (из полуплоскостей

16

движение точки z по окружности радиусом R с центром в точке O будет происходить от границы полуплоскости D0 (от точки z = R

π

по окружности до точки z = R ei 2 =iR ), т.е. движение по первому листу, и значение w = Ln z принадлежит ветви w = Ln z =ln R +iϕ,

0 ≤ϕ≤ π2 .

При движении точки z далее по окружности она попадает в зону

щей области D0 ∩D1 значения ветвей w = Ln z естественно совпадают, т.е. смена ветви происходит не на границе области, а в области пересечения D0 ∩D1 , и т.д.

В этом и состоит отличие в построении римановой поверхности для одной и той же функции w = Ln z элементарным методом и методом аналитического продолжения.

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОСОБОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Для геометрического представления многозначных функций комплексного переменного w = w(z) неудобно считать z точкой

комплексной плоскости. Рассмотрим, например, w = z . На вещественной оси (при x > 0 ) можно выделить две ветви этой функции

w1 = + z и w2 = − z ,

17

где z = x +io , x > 0 . На комплексной плоскости это уже невозможно: если z = reiϕ , то два значения корня из z, имеющие вид

переходят друг в друга при обходе по контуру, охватывающему точку z = 0 . Можно получить однозначную ветвь корня как функции от z, суживая область определения этой функции, например проводя разрез от нуля до бесконечности.

Другой способ (так называемый общий метод, который рассматривает риманову поверхность как комплексное многообразие)

объясним сначала на примере той же функции w = z . Рассмотрим

в2 с комплексными координатами (z, w) график двузначной

функции, т.е. точки вида (z, + z ) , (z, − z ) . Две ветви этого графика пересекаются в точке (0, 0) – точка ветвления этой алгебраи-

ческой функции. Заметим, что этот график может быть задан в 2 одним (комплексным) уравнением

F(z, w) = w2 − z =0 .

Функция w = z является однозначной функцией от точки графика, определяемого последним уравнением, она имеет вид проекции

(z, w) → w′.

n

Определение 6.1. Пусть F(z, w) = ∑Pj (z)w2 – многочлен от

j=1

переменных z и w. Он определяет (n-значную) алгебраическую функцию w = w(z) . Риманова поверхность σ этой функции задается

в2 уравнением F(z, w) = 0 .

Как и в разобранном примере, многозначная функция w = w(z) превращается в однозначную функцию w = w(P) от точки P римановой поверхности σ: если P(z, w) σ, то w(P) = w (проекция гра-

фика на w).

Замечание 6.1. Данное определение римановой поверхности является упрощенным и расходится с общепринятым. Такое расхождение может возникнуть, если на поверхности F(z, w) = 0 имеются

особые точки.

18

Замечание 6.2. Функция w = w(P) является не только одно-

значной, но и аналитической (голоморфной) функцией на римановой поверхности.

С«комплексной точки зрения» риманова поверхность является (комплексной) алгебраической кривой.

Свещественной точки зрения – это двумерная поверхность в

2 = R4 , заданная двумя уравнениями:

Re F = 0;

σ: =Im F 0.

В теории функций комплексного переменного встречаются и более сложные (неалгебраические) римановы поверхности, где

F(z, w) не есть многочлен. Например, уравнение ew − z = 0 задает

риманову поверхность логарифма. Такие поверхности рассматриваться не будут.

Обратимся теперь к важному свойству неособенности точек римановой поверхности.

Определение 6.2. Точка P0 (z0 , w0 ) σ римановой поверхности

σ={(z, w) 2 : F(z, w) =0}

называется неособой, если в ней отличен от нуля комплексный вектор градиента:

Риманова поверхность σ называется неособой, если все ее точки являются неособыми.

Комплексная теорема о неявной функции. Пусть F(z, w) –

19

Тогда существует такая единственная функция w = w(z) , что

F(z, w(z)) ≡0 в окрестности U (z0 ) точки z0 и w(z0 ) = w0 . Эта функция является аналитической функцией от z в некоторой окре-

стности U (z0 ) .

Замечание 6.3. Нетрудно проверить, что условие неособенности обеспечивает неприводимость алгебраической кривой F(z, w) = 0 ,

т.е. невозможность разложить ее уравнение на нетривиальные

множители F (z, w) = F1 (z, w) F2 (z, w) , где F1 (z, w) и F2 (z, w) –

многочлены положительной степени.

Пусть P0 (z0 , w0 ) – неособая точка поверхности σ и пусть в этой точке производная ∂∂Fw отлична от нуля. Тогда согласно теореме о

неявной функции в окрестности точки P0 поверхность σ допускает параметрическое представление вида

причем функция w(z) голоморфна.

Поэтому z в этом случае называется комплексной локальной ко-

ординатой, или локальным параметром на σ в окрестности точки

P0 (z0 , w0 ) σ .

Аналогично, если в точке P0 (z0 , w0 ) отлична от нуля производ-

Для неособой римановой поверхности σ в тех точках поверхности

σ, где одновременно и ∂∂Fw ≠ 0 , и ∂∂Fz ≠ 0 , можно пользоваться обо-

20