Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция_2

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
07.11.2022
Размер:
708.28 Кб
Скачать

Лекция 2. Ко- и контравариантные компоненты векторов

1. Контравариантные компоненты вектора. Примем следующие обозначения и правила, которые в дальнейшем намного упростят выкладки.

Будем нумеровать координаты вектора верхним индексом, базисные векторы

– нижним. Тогда произвольный вектор a , определенный в n -мерном пространстве, можно представить в виде разложения

n

 

a a1e1 a2e2 ... anen a e a e .

(36)

1

Удобство такой записи заключается в том, что можно без потери понимания смысла записи опустить знак суммирования. Если есть некоторый индекс вверху и такой же внизу, то по нему подразумевается суммирование (правило суммирования Эйнштейна). Произведем замену базиса, перейдя к штрихованной системе координат:

e

A e

.

(37)

 

 

 

 

Здесь мы ввели новое обозначение для компонент матрицы перехода A .

Нижний индекс соответствует номеру строки, а верхний – номеру столбца.

Задание 2. Продумайте и осознайте эту запись. Это необходимо для дальнейшего восприятия материала. Распишите (37) по координатам.

Каждый индекс пробегает значения (в трехмерном пространстве) от 1 до 3.

Получите три уравнения с тремя слагаемыми каждое. Сравните получившиеся выражения с (26) и (30).

Обратное к (37) преобразование, т.е. переход от нового базиса к старому,

имеет вид:

 

 

e

B e

 

.

 

 

 

(38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ 1

. Справедливо равенство:

 

и определяется матрицей B A

 

ˆ ˆ ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

(39)

AB E, или в компонентах

A

B .

Задание 3. Вспомните, как перемножаются матрицы. Убедитесь в

справедливости (39).

При замене базиса вектор не изменяется. Меняются только его координаты. Следовательно,

a e

a e

 

.

(40)

 

 

 

 

 

 

Учитывая (38), получим соотношение:

 

 

 

 

 

a B e

 

a e

 

,

 

 

 

 

 

из которого следует закон преобразования координат вектора при замене базиса:

a a B .

(41)

 

 

Такие координаты называются контравариантными компонентами вектора.

Закон их преобразования противоположен (контра!) закону преобразования базисных векторов. Действительно, базисные векторы преобразуются посредством матрицы A (формула (37)), а компоненты вектора –

посредством матрицы ˆ ˆ 1 .

B A

2. Ковариантные компоненты вектора (I). Ковариантные компоненты a вектора a определяются скалярным произведением вектора a на базисные векторы e :

a ae .

Задание 4. Проверьте, что в декартовой системе координат ко- и

контравариантные компоненты совпадают.

3. Скалярное произведение и метрический тензор. Дадим теперь

формальное определение скалярному произведению векторов с помощью метрического тензора (матрицы) G g следующим образом:

ab a e

b e

 

e e

 

a b

g

 

a b .

(42)

 

 

 

 

 

 

 

Компоненты g e e метрического тензора зависят от выбора системы

координат. Так, например, в декартовой системе координат метрический тензор имеет вид:

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

G g

0

1

0

.

(43)

 

0

0

1

 

 

 

 

 

В самом деле, с учетом этого формула (42) переходит в формулу (7):

ab

 

a b a1b1 a2b2 a3b3 a b

a b

a b .

(7.1)

 

1

1

2

2

3

3

 

Так как в декартовой системе координат нет разницы между ко- и

контравариантными компонентами, то индекс можно опускать и поднимать,

не задумываясь. Это и было использовано в (7.1). В других системах координат, например в сферической или цилиндрической, вид метрического тензора изменяется. Если его можно привести к виду (43) некоторым преобразованием координат, то такая метрика называется евклидовой.

Следует также отметить, что по определению метрический тензор является симметричным: g g .

4. Обратный метрический тензор и взаимный базис. Определим

обратный метрический тензор G 1 g :

 

 

 

 

 

 

 

g g

 

.

(44)

 

 

 

 

С помощью введенного тензора определим векторы так называемого

взаимного базиса

e g e

 

.

(45)

 

 

 

Скалярное произведение векторов исходного базиса на векторы взаимного базиса приводит к символу Кронекера:

e e

 

g e e

 

g g

 

.

(46)

 

 

 

 

 

Найдем закон преобразования векторов взаимного базиса при замене системы координат. Для этого найдем произведение вектора взаимного

базиса в старых координатах на вектор исходного базиса в новой системе координат:

e e

 

e A e

A A .

(47)

 

 

 

 

 

Здесь мы использовали соотношения (37) и (46). Умножим равенство (47)

слева и справа на

B :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e e

B A

B .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учетом соотношений (39) и (46) преобразуем последнее равенство:

 

e e

 

B e e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из полученного соотношения следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e B e

 

.

 

(48)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученный закон преобразования векторов взаимного базиса совпадает с законом преобразования контравариантных компонент вектора (41).

5. Ковариантные компоненты вектора (II). Ковариантными

компонентами вектора a называются его коэффициенты a

разложения по

векторам взаимного базиса:

 

a a e .

(49)

 

 

Задание 5. Выразите компоненты этого вектора. Ответ: a ae .

Независимо от базиса вектор остается самим собой. Поэтому справедливо равенство

a a e

a e .

(50)

 

 

 

 

 

Но, как это следует из (44) и (45),

 

 

 

 

e

g

 

e .

(51)

 

 

 

 

Задание 6. Проверьте справедливость этого соотношения.

Поэтому равенство (50) принимает вид

a e a g e ,

из которого следует, что ковариантные компоненты вектора выражаются через контравариантные компоненты вектора посредством метрического тензора:

a

 

g

 

a

.

(52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Совершенно очевидно, что контравариантные компоненты выражаются через ковариантные компоненты с помощью обратного метрического тензора:

a g a .

(53)

 

 

Операции типа (52) и (53) называются операциями жонглирования индексами. Это важные области применения метрического тензора. С

помощью метрического тензора индексы опускают вниз, а с помощью обратного метрического тензора – поднимают наверх.

Задание 7. Используя (50) и (51), еще раз убедитесь, что в декартовой

системе координат ко- и контравариантные компоненты совпадают.

Найдем закон преобразования ковариантных компонент вектора при замене координат. Для этого фактически нужно повторить вывод (40)-(41) с

той лишь разницей, что теперь следует вектор раскладывать по взаимному базису. Итак, при замене базиса вектор не изменяется. Меняются только его координаты. Следовательно,

a e a e .

(54)

 

 

 

Учитывая закон (48), получим соотношение

a e a B e ,

из которого следует закон преобразования ковариантных компонент вектора при замене координат

a

 

B a

.

(55)

 

 

 

 

Видно, что закон преобразования совпадает (ко-) с законом преобразования базисных векторов (38).

Следует особо отметить, что в случае отсутствия метрики, выражения типа a e и a e соответствуют объектам разной природы. Как мы увидим в

дальнейшем, первое выражение отвечает 1-форме (ковектору), а второе – вектору. Только в присутствии метрики, т.е. правила вычисления скалярного произведения (42), можно говорить, что это один и тот же объект, но представленный в виде различных разложений: по взаимному базису и исходному соответственно.

Задание 8.

1)

Найти координаты вектора a = 6e1 e2

3e3

 

 

 

 

 

, если

в базисе e1,e2

,e3

 

e

e

e

2

2e

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2 2e1 e2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

e e

2

e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Найти координаты вектора a = e1 2e2

4e3

 

 

 

 

 

 

, если

в базисе e1

,e2

,e3

 

e

e

e

2

 

3e

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 e1

e2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

e

e e

2

e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Пусть метрический тензор в некотором базисе имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

1

2

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти скалярные произведения векторов:

a.a 1, 2, 4 и b 3, 1,0 ;

b.a 4,1,1 и b 1, 2, 2 ;

c.a 1,3, 3 и b 5,3, 2 ;

d.a 1,3, 4 и b 2, 1,1 .

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ