Лекция_2
.pdfЛекция 2. Ко- и контравариантные компоненты векторов
1. Контравариантные компоненты вектора. Примем следующие обозначения и правила, которые в дальнейшем намного упростят выкладки.
Будем нумеровать координаты вектора верхним индексом, базисные векторы
– нижним. Тогда произвольный вектор a , определенный в n -мерном пространстве, можно представить в виде разложения
n |
|
a a1e1 a2e2 ... anen a e a e . |
(36) |
1
Удобство такой записи заключается в том, что можно без потери понимания смысла записи опустить знак суммирования. Если есть некоторый индекс вверху и такой же внизу, то по нему подразумевается суммирование (правило суммирования Эйнштейна). Произведем замену базиса, перейдя к штрихованной системе координат:
e |
A e |
. |
(37) |
|
|
|
|
Здесь мы ввели новое обозначение для компонент матрицы перехода A .
Нижний индекс соответствует номеру строки, а верхний – номеру столбца.
Задание 2. Продумайте и осознайте эту запись. Это необходимо для дальнейшего восприятия материала. Распишите (37) по координатам.
Каждый индекс пробегает значения (в трехмерном пространстве) от 1 до 3.
Получите три уравнения с тремя слагаемыми каждое. Сравните получившиеся выражения с (26) и (30).
Обратное к (37) преобразование, т.е. переход от нового базиса к старому,
имеет вид:
|
|
e |
B e |
|
. |
|
|
|
(38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ 1 |
. Справедливо равенство: |
|
||||||
и определяется матрицей B A |
|
||||||||
ˆ ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(39) |
AB E, или в компонентах |
A |
B . |
Задание 3. Вспомните, как перемножаются матрицы. Убедитесь в
справедливости (39).
При замене базиса вектор не изменяется. Меняются только его координаты. Следовательно,
a e |
a e |
|
. |
(40) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая (38), получим соотношение: |
|
|
|
|
|
|
a B e |
|
a e |
|
, |
||
|
|
|
|
|
из которого следует закон преобразования координат вектора при замене базиса:
a a B . |
(41) |
|
|
Такие координаты называются контравариантными компонентами вектора.
Закон их преобразования противоположен (контра!) закону преобразования базисных векторов. Действительно, базисные векторы преобразуются посредством матрицы A (формула (37)), а компоненты вектора –
посредством матрицы ˆ ˆ 1 .
B A
2. Ковариантные компоненты вектора (I). Ковариантные компоненты a вектора a определяются скалярным произведением вектора a на базисные векторы e :
a ae .
Задание 4. Проверьте, что в декартовой системе координат ко- и
контравариантные компоненты совпадают.
3. Скалярное произведение и метрический тензор. Дадим теперь
формальное определение скалярному произведению векторов с помощью метрического тензора (матрицы) G g следующим образом:
ab a e |
b e |
|
e e |
|
a b |
g |
|
a b . |
(42) |
|
|
|
|
|
|
|
Компоненты g e e метрического тензора зависят от выбора системы
координат. Так, например, в декартовой системе координат метрический тензор имеет вид:
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
G g |
0 |
1 |
0 |
. |
(43) |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
В самом деле, с учетом этого формула (42) переходит в формулу (7):
ab |
|
a b a1b1 a2b2 a3b3 a b |
a b |
a b . |
(7.1) |
|||
|
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
Так как в декартовой системе координат нет разницы между ко- и
контравариантными компонентами, то индекс можно опускать и поднимать,
не задумываясь. Это и было использовано в (7.1). В других системах координат, например в сферической или цилиндрической, вид метрического тензора изменяется. Если его можно привести к виду (43) некоторым преобразованием координат, то такая метрика называется евклидовой.
Следует также отметить, что по определению метрический тензор является симметричным: g g .
4. Обратный метрический тензор и взаимный базис. Определим
обратный метрический тензор G 1 g : |
|
|||
|
|
|
|
|
|
g g |
|
. |
(44) |
|
|
|
|
С помощью введенного тензора определим векторы так называемого
взаимного базиса
e g e |
|
. |
(45) |
|
|
|
Скалярное произведение векторов исходного базиса на векторы взаимного базиса приводит к символу Кронекера:
e e |
|
g e e |
|
g g |
|
. |
(46) |
|
|
|
|
|
Найдем закон преобразования векторов взаимного базиса при замене системы координат. Для этого найдем произведение вектора взаимного
базиса в старых координатах на вектор исходного базиса в новой системе координат:
e e |
|
e A e |
A A . |
(47) |
|
|
|
|
|
|
Здесь мы использовали соотношения (37) и (46). Умножим равенство (47)
слева и справа на |
B : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e e |
B A |
B . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом соотношений (39) и (46) преобразуем последнее равенство: |
|||||||||
|
e e |
|
B e e |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из полученного соотношения следует, что |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
e B e |
|
. |
|
(48) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный закон преобразования векторов взаимного базиса совпадает с законом преобразования контравариантных компонент вектора (41).
5. Ковариантные компоненты вектора (II). Ковариантными
компонентами вектора a называются его коэффициенты a |
разложения по |
векторам взаимного базиса: |
|
a a e . |
(49) |
|
|
Задание 5. Выразите компоненты этого вектора. Ответ: a ae .
Независимо от базиса вектор остается самим собой. Поэтому справедливо равенство
a a e |
a e . |
(50) |
||
|
|
|
|
|
Но, как это следует из (44) и (45), |
|
|
|
|
e |
g |
|
e . |
(51) |
|
|
|
|
Задание 6. Проверьте справедливость этого соотношения.
Поэтому равенство (50) принимает вид
a e a g e ,
из которого следует, что ковариантные компоненты вектора выражаются через контравариантные компоненты вектора посредством метрического тензора:
a |
|
g |
|
a |
. |
(52) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Совершенно очевидно, что контравариантные компоненты выражаются через ковариантные компоненты с помощью обратного метрического тензора:
a g a . |
(53) |
|
|
Операции типа (52) и (53) называются операциями жонглирования индексами. Это важные области применения метрического тензора. С
помощью метрического тензора индексы опускают вниз, а с помощью обратного метрического тензора – поднимают наверх.
Задание 7. Используя (50) и (51), еще раз убедитесь, что в декартовой
системе координат ко- и контравариантные компоненты совпадают.
Найдем закон преобразования ковариантных компонент вектора при замене координат. Для этого фактически нужно повторить вывод (40)-(41) с
той лишь разницей, что теперь следует вектор раскладывать по взаимному базису. Итак, при замене базиса вектор не изменяется. Меняются только его координаты. Следовательно,
a e a e . |
(54) |
|
|
|
|
Учитывая закон (48), получим соотношение
a e a B e ,
из которого следует закон преобразования ковариантных компонент вектора при замене координат
a |
|
B a |
. |
(55) |
|
|
|
|
Видно, что закон преобразования совпадает (ко-) с законом преобразования базисных векторов (38).
Следует особо отметить, что в случае отсутствия метрики, выражения типа a e и a e соответствуют объектам разной природы. Как мы увидим в
дальнейшем, первое выражение отвечает 1-форме (ковектору), а второе – вектору. Только в присутствии метрики, т.е. правила вычисления скалярного произведения (42), можно говорить, что это один и тот же объект, но представленный в виде различных разложений: по взаимному базису и исходному соответственно.
Задание 8.
1) |
Найти координаты вектора a = 6e1 e2 |
3e3 |
|
|
|
|
|
, если |
||||||||||
в базисе e1,e2 |
,e3 |
|||||||||||||||||
|
e |
e |
e |
2 |
2e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 2e1 e2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e |
e e |
2 |
e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
Найти координаты вектора a = e1 2e2 |
4e3 |
|
|
|
|
|
|
, если |
|||||||||
в базисе e1 |
,e2 |
,e3 |
||||||||||||||||
|
e |
e |
e |
2 |
|
3e |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 e1 |
e2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
e |
e e |
2 |
e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) Пусть метрический тензор в некотором базисе имеет вид: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
1 |
2 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти скалярные произведения векторов:
a.a 1, 2, 4 и b 3, 1,0 ;
b.a 4,1,1 и b 1, 2, 2 ;
c.a 1,3, 3 и b 5,3, 2 ;
d.a 1,3, 4 и b 2, 1,1 .