Точная интерполяция

Точечныйнаборизмеренных значений

Ячейки, выделенные красным, указываютточкиисходногонабора.

МетодTriangulationwithLinearInterpolation

МетодТриангуляцияслинейнойинтерполяциейбазируетсянатриангуляции Делоне по входным точкам и линейной интерполяцией отметок поверхности в пределах плоскихграней. В основемодели лежит предположениео том,чтоотметки поверхностимежду пунктами измерений значенияменяются полинейному закону.

точкаснеизвестным

^z значением(узел)

x

y

ТриангуляцияДелоне

точкисизвестнымизначениями

Пригустойсетиизмеренийислабойизменчивостивеличинпредположениеможет бытьблизкимк действительностии не повлечет за собой существенных погрешностей при прогнозировании значений между пунктами измерений.

МетодInverseDistancetoaPower(idw)

МетодОбратно взвешенные расстояния(InverseDistancetoaPower)рассчитываетзначения ячеек путем усреднения значений в опорных точках, находящихся в окрестностикаждой

ячейки.Чемближеточкакцентруячейки,значениекоторойвычисляется,тембольшеевлияние, или вес, она имеет в процессе усреднения.

^Z(s1⁾ Z(s₂)

r₁

r₂

, где

_i–весизмеренногозначения;

r_i–удалениеточкинаблюденияот узла сети;

k–показательстепени

r₄

Z(s₄)

?

r₃

Z(s₃)

точкисизвестнымизначениями

_? точкаснеизвестным значением (узел)

Радиусинтерполяции

Методпозволяетхорошовыявлятьвысокочастотную(локальную)составляющую

отметокповерхности.

МетодMinimumCurvature,Spline

МетодМинимальнойкривизны(Сплайн)рассчитываетзначения с использованиемматематической функции, которая минимизирует общую кривизнуповерхности и строит сглаженную поверхность проходящую черезопорные точки.

Метод регуляризации:создаетгладкуюповерхность,значения в которой могут

выходитьзапределыдиапазона

измеренныхзначений.

Метод натяжения:меняетжесткостьповерхностив зависимости от характера моделируемого явления таким

образом,чтобызначенияотметок

поверхностиневыходилиза

пределыдиапазонаизмеренных

значений.

Поверхность,построеннаяспомощьюэтогометода,аналогичнатонкойупругой пленке, которая проходит настолько близко к экспериментальнымточкам данных, насколько это возможно, с минимальным числом изгибов.

МетодPolynomialRegression(Trend)

МетодПолиноминальнаярегрессия(Тренд)основаннааппроксимации

поверхностиполиномомопределенногопорядка:

z(х)=a₀+a₁x¹+a₂x²+…..+a_nx^n-полиномn-гопорядка.

Онопираетсянарегрессиюнаименьших квадратовисоздаетповерхностис наименьшим отклонением от исходных значений.

-рассчитанное(оценочное)значениепараметраz

-наблюденноезначениепараметраz

Аппроксимацияповерхностиполиномомпервогопорядка

Аппроксимацияповерхностиполиномомвторогопорядка

Геостатистическиеметодыинтерполяции

Геостатистические методы основаны на предположении, что измеренные значения отметок поверхностиносятслучайный характер ирассматриваются как реализация случайнойфункции:

Z(s)=µ(s)+ε(s),

гдеµ(s)-детерминированныйтренд,аε(s)-случайнаясоставляющаяполя,

s–координатыточкиизмерения.

В геостатистике наслучайную компоненту накладываются следующиедопущения:

1. случайнаясоставляющаястационарна;

2. среднеезначениеслучайнойсоставляющей

равно0.

Допущениеостационарностипозволяет:

определитьстатистическиесвойстваслучайной

функцииZ(s)наосновеединственнойреализации;вотличииотвероятностныхмоделей,рассматривать случайную компоненту какпространственнокоррелируемую.

Тренд

Геостатистическая модельповерхности:

«тренд+стационарныйостаток»

Дляоценкипространственнойавтокорреляции вгеостатистикеиспользуется

вариограмма:

h

^1shs^2,

2n

где(s)и(s+h)–отметкиповерхностивпунктах,отстоящихдруготдругана

расстояниеh,аn-количествопарточекизмерения.

γ(h)

Расстояние(лаг)h

Порог

Определяетбелыйшум

Остаточнаядисперсия(nugget)

Предельныйрадиус корреляции(range)

Пропорционалендисперсии

Расстояние(лаг)h

Выражаетпространственный

период

Геостатистическиеметодыосуществляютинтерполяциюслучайныхпроцессов с зависимостями - автокорреляциями.

Технологияинтерполяциигеостатистическимиметодами

1. Анализисходныхданныхиудалениетренда.

2. Построение эмпирической

вариограммы.

3. Подбормоделивариограммы.

_ эмпирическиеданные

модель

h

Расстояние(лаг)

4. Вычислениезначенийвузлахсети.

^Z(s1⁾ Z(s₂)

h₁

h₄

Z(s₄)

h₂

_? Z(s₀)

h₃

Z(s₃)

гдеN –количествоточекизмеренияв эллипсе поиска;

_i–весизмеренногозначения, который

вычисляется на основе моделивариограммы и пространственного

точкис известнымизначениями;

_? точкиснеизвестнымизначениями

распределения точек замеров вокругоцениваемой точки

МетодKriging

МетодКригинг(Kriging)базируетсянастатистическихмоделях,которыеучитывают пространственную автокорреляцию (статистическую взаимосвязь между опорнымиточками).

Взависимости отдопущений, накладываемыхнаморфологиюповерхноститрендаµ(s),выделяют:

ординарныйкригинг-OrdinaryKriging

(µявляетсянеизвестнойконстантой);

простойкригинг-SimpleKriging

(µ-известнаяконстанта);

универсальныйкригинг-UniversalKriging

(µ(s)-любаядетерминированнаяфункция).

Методпозволяетнетолькосоздаватьповерхностьинтерполяции,атакжеоценивать

точностьтакихинтерполяций.