
Информатика 2 семестр / obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr
.pdf
|
|
|
|
аппроксимация полином 1 степени |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
O3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,7 |
|
|
|
|
O4 |
|
|
|
|
|
|
||
0,6 |
|
|
O2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
у 0,5 |
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P1(x) |
||
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,2 |
O0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0,5 |
|
1 |
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
Реализация метода в Mcad |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Метод наименьших квадратов (полином 1- ой степени P1(x)=a0 + a1 x) |
||||||||||||
|
|
0.2 |
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
0.5 |
Исходные данные |
|
|||||
x |
0.7 |
y 0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0.85 |
|
|
0.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
i 0 4 |
Количество точек |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
||
C |
|
|
i |
|
|
D |
|
i |
|
|
|
Вычисление коэффициентов |
|
|
|
|
xi yi |
||||||||||
xi xi 2 |
|
|
|
матрицы |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
a C 1 D |
|
Вычисление коэффициентов полинома |
|||||||||||
|
0.058 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
Коэффициенты полинома |
|
||||||||
|
0.797 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P1(x) a0 a1 x |
Искомый полином |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Oi P1 xi yi |
Вычисление ошибок аппроксимации |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0.117 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График исходных |
|
|
0.123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y i |
|
|
|
|
|
|
точек и |
|||
O 0.016 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
полученного |
||||||
|
|
0.165 |
|
P1 xi |
0.5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
полинома |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.155 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
0.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi xi |
|
41

Реализация в MS Excel
Построение аппроксимирующей функции с помощью тренда
Построение аппроксимирующей функции с помощью команды Поиск решения Формулы
1.Данные/Поиск решения
2.Целевая ячейка $F$7-минимальное значение
3.Изменяемая ячейка $C$2:$D$2
4.Выполнить
Результат
Ручной счет.
Аппроксимация полиномом 2 степени
Зададим общий вид полинома 2 степени P1(x)=a0+a1*x+a2*x2. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений
|
n a0 xi a1 xi2 a2 yi |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
a0 xi2 a1 xi3 a2 xi yi |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
xi2 |
a0 xi3 a1 xi4 a2 xi2 yi |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим значения xi |
, xi2 , xi3 , xi4 , yi , xi yi , xi2 yi . |
||||||||||
|
|
|
i |
i |
|
i |
i |
|
i |
i |
i |
xi |
x0 |
x1 x2 x3 x4 |
|
|
xi 0,2 0,4 0,7 0,85 1 3,15 |
||||||
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
xi2 x02 x12 x22 |
x32 |
x42 xi |
2 |
0,22 |
0,42 |
0,72 0,852 12 2,413 |
|||||
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi3 |
0,23 |
0,43 0,73 0,853 13 |
2,029 |
|
|
|
|
|
i
xi4 |
0,24 |
0,44 0,74 0,854 |
14 1,789 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
y0 |
y1 y2 |
y3 |
y4 |
yi 0,1 0,5 0,6 0,9 0,7 2,8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi yi x0 y0 x1y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi yi |
0,2 0,1 0,4 0,5 0,7 0,6 0,85 0,9 1 0,7 2,105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
2 yi |
0,22 0,1 0,42 0,5 0,72 0,6 0,852 0,9 12 |
0,7 1,728 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем систему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 a0 |
|
3,15 a1 2,413 a2 |
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
a0 |
|
2,413 a1 |
2,029 a2 |
2,105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2,413 a |
0 |
2,029 a |
1,789 a |
2 |
1,728 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Запишем систему в матричном виде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
3,15 |
2,413 |
a0 |
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3,15 |
|
2,413 |
2,029 |
a1 |
|
2,105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
1,728 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2,413 |
2,029 |
1,789 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решим систему методом Гаусса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
3,15 |
2,413 |
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,15 |
2,413 |
2,029 |
|
2,105 |
Выполним деление 1-е уравнение на 5,а 2-е уравнение на 3,15, 3-е |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2,413 |
2,029 |
1,789 |
|
1,728 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,63 |
|
0,483 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,56 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,766 |
0,644 |
0,668 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
уравнение на 2,413. В результате получаем систему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,841 |
0,742 |
0,716 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Перепишем 1- е уравнение без изменений, а из 2-е уравнения вычтем 1-е уравнение и результат |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
запишем на место второго уравнения, из 3-го уравнения вычтем 1-е уравнение и результат |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,63 |
|
0,483 |
|
|
0,56 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,136 |
0,162 |
|
0,108 |
|
|
|
|
|
|
||||
запишем на место третьего уравнения. Получим систему |
|
. Выполним |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,211 |
0,259 |
|
0,156 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
деление 2-е уравнение на 0,136, 3-е уравнение на 0,211. В результате получим систему |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
0,63 |
|
|
0,483 |
|
0,56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
1,190 |
|
0,797 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
. Перепишем 1-е и 2- е уравнение без изменений, из 3-го уравнения вычтем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
1,228 |
|
0,741 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,63 |
|
|
0,483 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,56 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1,190 |
0,797 |
|
|
|||
2-е уравнение и результат запишем на место третьего уравнения. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0,038 |
0,056 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 0,63a1 0,483 a2 |
0,56 |
|
||||||||
Запишем полученные данные в виде системы линейных уравнений: |
|
a 1,190 a |
2 |
0,797 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,038 a2 |
0,056 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из 3-го уравнения найдѐм a |
2 |
|
0,056 . Получим |
a |
2 |
1,472 |
. Из 2-го уравнения найдѐм |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,038 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |

a1 0,797 1,190 a2 . a1 0,797 1,190 ( 1,472) a1 2,548 . Из 1-го уравнения найдѐм a0 0,56 0,63 a1 0,483 a2 . a0 0,56 0,63 2,548 0,483 ( 1,472) . a0 0,335.
Запишем найденное уравнение P2(x) 0,335 2,548 x 1,472 x2 . Найдѐм отклонения полученного полиномаP2(x) от заданных точек y.
В 0-ой точке
O0 P2( x0 ) y0
P2(x0 ) 0,335 2,548 x0 1,472 x02
P2(0,2) 0,116
O0 0,116 0,1 0,016
В 1-ой точке
O1 P2( x1 ) y1
P2(x1 ) 0,335 2,548 x1 1,472 x12 P2(0,4) 0,449
O1 0,449 0,5 0,051
В 2-ой точке
O2 P2( x2 ) y2
P2(x2 ) 0,335 2,549 x2 1,472 x22 P2(0,7) 0,727
O2 0,727 0,6 0,127
В 3-ей точке
O3 P2( x3 ) y3
P2(x3 ) 0,335 2,548 x3 1,472 x32
P2(0,85) 0,767
O3 0,767 0,9 0,113
В 4-ой точке
O4 P2( x4 ) y4
P2(x4 ) 0,335 2,548 x4 1,472 x4 2 P2(1) 0,741
O4 0,741 0,7 0,041
Построим график функции P2( x ) и отметим исходные точки на этом же графике.
Аппроксимация полином 2 степени
у
1,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O3 |
O4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,60 |
|
|
|
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
|
|
|
|
|
х
Реализация метода в Mcad

Реализация в программе MS Excel
Построение аппроксимирующей функции с помощью тренда
1.Построить диаграмму – тип точечная
2.Указав на одну из точек – щелкнуть по ней правой кнопкой мыши
3.В контекстном меню выбрать команду – Добавить линию тренда
4.Выбрать – полиномиальный, степень 2. Показать уравнение на диаграмме.
45

Построение аппроксимирующей функции с помощью команды Поиск решения Формулы
1Данные/Поиск решения
2Целевая ячейка $G$7-минимальное значение
3Изменяемая ячейка $C$2:$E$2
4Выполнить
Результат
Интерполяция
Метод неопределѐнных коэффициентов
Название метода |
Система для нахождения коэффициентов |
Ответ |
|||||||
|
|
|
полинома |
|
|
||||
Метод |
полином 1 степени |
P1(x)=a0+a1*x |
|||||||
неопределѐнных |
|
|
a |
a x |
y |
|
|
||
коэффициентов |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||
(интерполяция) |
|
|
a0 |
a1 |
x1 |
y1 |
|
|
|
полином 2 степени |
P2(x)=a0+a1*x+a2*x2 |
||||||||
|
|||||||||
|
a a x a x2 |
y |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
|
|
a0 a1 x1 a2 x12 y1 |
|
|||||||
|
a a x a x2 |
y |
|
||||||
|
|
0 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ручной счет Интерполяция полином 1 степени.
Зададим общий вид полинома 1 степени P1(x)=a0+a1*x. Выберем для построения 0- ю точку и 3-ю точку. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений
a0 a1 x0 y0a0 a1 x3 y3
Получаем систему:
a |
0.2 a 0.1 |
|
||||
|
0 |
|
1 |
|
|
|
a0 0.85 a1 0.9 |
|
|||||
Запишем систему в матричном виде. |
||||||
1 |
|
0,2 |
a0 |
|
0,1 |
|
1 |
0,85 |
a |
|
0,9 |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
Решим систему методом Гаусса. |
|||
1 |
|
|
|
0,2 |
0,1 |
||
|
|
|
Перепишем 1- е уравнение без изменений, а из 2-е уравнения вычтем 1-е |
1 |
0,85 |
0,9 |
|
1 |
|
|
||
0,2 |
0,1 |
|||
уравнения и результат запишем на место второго уравнения. Получим систему |
0 |
0,65 |
0,8 |
. |
|
|
|
|
a0 0,2a1 0,1 |
. |
|
Запишем полученные данные в виде системы линейных уравнений: |
0,65a 0,8 |
|||
|
|
|
1 |
|
Из 2-го уравнения найдѐм a |
0,8 |
. Получим a 1,231. Из 1-го уравнения найдѐм |
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
|
|
0,65
a0 0,1 0,2 a1 . a0 0,1 0,2 1,231
a0 0,146 .
Запишем найденное уравнение P1(x) 0,146 1,231 x .
Найдѐм отклонения полученного полиномаP1(x) от заданных точек y.
В 0-ой точке
O0 P1( x0 ) y0
P1(x0 ) 0,146 1,231 x0
P1( 0,2 ) 0,1
O0 0,1 0,1 0
В 1-ой точке
O1 P1( x1 ) y1
P1(x1 ) 0,146 1,231 x1
P1(0,4) 0,346
O1 0,346 0,5 0,154
В 2-ой точке
O2 P1( x2 ) y2
P1(x2 ) 0,146 1,231 x2
P1(0,7) 0,715
O2 0,715 0,6 0,115
В 3-ей точке
O3 P1( x3 ) y3
P1(x3 ) 0,146 1,231 x3
P1( 0,85) 0,9
O3 0,9 0,9 0
В 4-ой точке
O4 P1( x4 ) y4
P1(x4 ) 0,146 1,231 x4
P1(1) 1,084
47

O4 1,085 0,7 0,385
Построим график функции P1( x ) и отметим исходные точки на этом же графике
Интерполяция
у
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O4 |
||||||||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
1 |
1,2 |
|
|
|
|
|
х
Реализация метода в Mcad
Метод неопределѐнных коэффициентов(полином 1- ой степени P1(x)=a0 + a1 x)
|
0.2 |
|
|
|
|
0. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0. |
5 |
|
x 0.7 |
|
|
y 0. |
6 |
|||||
|
0.85 |
|
|
|
|
0. |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0. |
7 |
|
|
1 |
x |
|
|
y |
0 |
|
|
|
C |
|
0 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
x |
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
a C 1 D |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.146 |
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.231 |
|
|
|
|
|
|
Исходные данные
i 0 4
Матрицы C и D для системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а0 и а1
P1(x) a0 a1 x
Вычисление ошибки интерполяции
Oi P1 xi yi
Oi
Интерполирующая функция |
|
||
|
График найденного полинома и |
||
|
исходных точек |
|
|
|
1.5 |
|
|
y i |
1 |
|
|
P1 xi |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0.5 |
1 |
|
|
xi |
|
Реализация в программе MS Excel Построение интерполирующей функции с помощью тренда
Линейная интерполяция
1.Ввести исходные данные – значения Х разместить в 1- й строке значения Y во второй строке.
2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – «Точечная»).
3.Для построения полинома 1-й степени P1(x)= a0 +a1·x выберем две точки (x0,
y0) и (x3, y3).
4.Добавим ряд из этих точек.
5.Построим для этого ряда линейный тренд и показать уравнение на диаграмме.
6.В позициях прогноз установить вперед- 0,5, назад – 0,5.
Ручной счет Интерполяция полином 2 степени.
Зададим общий вид полинома 2 степени P2(x)=a0+a1*x+a2*x2. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений
a0a0
a0
a1 x0 a2 x02 y0
a1 x1 a2 x12 y1
a1 x4 a2 x42 y4
a |
0 |
0,2 a 0,22 |
a |
2 |
0,1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Получаем систему: a0 |
0,4 a1 0,42 |
a2 |
0,5 |
|
|||
|
|
2 |
a2 0,7 |
|
|||
|
a0 1 a1 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,2 0,04 |
|||
Запишем систему в матричном виде. 1 |
|
0,4 |
0,16 |
||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Решим систему методом Гаусса.
a0a1a2
|
|
0,1 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
0,7 |
1 |
0,2 |
0,04 |
|
0,1 |
|
|
|
|
|||||
|
0,4 |
0,16 |
|
0,5 |
|
Перепишем 1- е уравнение без изменений, а из 2-е уравнения вычтем 1-е |
1 |
|
|
||||
1 |
1 |
1 |
|
0,7 |
|
|
уравнение и результат запишем на место второго уравнения, из 3-го уравнения вычтем 1-е уравнение и результат запишем на место третьего уравнения.
1 |
0,2 |
0,04 |
|
0,1 |
|
||
|
|
||||||
|
0 |
0,2 |
0,12 |
|
0,4 |
|
В результате получаем систему. |
|
0 |
0,8 |
0,96 |
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
. Выполним деление 2-е уравнение на 0,2 , 3-е уравнение на 0,8. В результате получим систему
1 |
0,2 0,04 |
|
0,1 |
||||||
|
|||||||||
|
0 |
1 |
0,6 |
|
2 |
|
|||
|
|
. Перепишем 1-е и 2- е уравнение без изменений, из 3-го |
|||||||
|
0 |
1 |
1,2 |
|
0,75 |
|
|||
уравнения вычтем 2-е уравнение и результат запишем на место третьего уравнения. |
|||||||||
1 |
0,2 0,04 |
|
0,1 |
|
|||||
|
|
||||||||
|
0 |
1 |
0,6 |
|
2 |
|
|
||
|
0 |
0 |
0,6 |
|
|
|
|
||
|
|
1,25 |
|
49

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
0,2a 0,04 a |
2 |
0,1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Запишем полученные данные в виде системы линейных уравнений: |
|
|
a 0,6 a |
2 |
2 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 a |
2 |
1,25 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из 3-го уравнения найдѐм a2 |
1,25 . Получим a2 2,083 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из 2-го уравнения найдѐм a1 2 0,6 a2 . |
|
a1 2 0,6 ( 2,083) |
|
|
a1 3,25 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
Из 1-го уравнения найдѐм a0 |
0,1 0,2 3,25 0,04 ( 2,083) . a0 0,467 . Запишем найденное |
||||||||||||||||||||||
уравнение P2(x) 0,467 3,25 x 2,083 x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найдѐм отклонения полученного полиномаP2(x) от заданных точек y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В 0-ой точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
P2( x |
|
) y |
0 |
P2(x ) 0,467 3,25 x |
|
2,083 x |
2 |
P2( 0,2 ) 0,1 |
O 0,1 0,1 0 |
|||||||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
В 1-ой точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
P2( x |
) y |
|
|
P2(x ) 0,467 3,25 x 2,083 x 2 |
P2( 0,4 ) 0,5 |
O 0,5 0,5 0 |
||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
В 2-ой точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
P2( x |
2 |
) y |
2 |
P2(x |
2 |
) 0,467 3,25 x |
2 |
2,083 x |
2 |
2 |
P2(0,7) 0,787 |
O 0,787 0,6 0,187 |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
В 3-ей точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
P2( x |
|
) y |
|
|
P2(x ) 0,467 3,25 x |
|
2,083 x 2 |
|
P2(0,85) 0,791 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
O3 0,791 0,9 0,109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В 4-ой точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O4 P2( x4 ) y4 |
P2(x4 ) 0,467 3,25 x4 |
2,083 x4 |
2 |
P2(1) 0,7 |
O4 0,7 0,7 0 |
Построим график функции P2( x ) и отметим исходные точки на этом же графике.
Интерполяция
у
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
O1 |
O2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
|
1 |
1,2 |
|
|
|
|
|
х
Реализация метода в Mcad