Добавил:

SergeyKorabel 19-КСУ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Информатика

Файл:

Информатика 2 семестр / obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.09.2022

Размер:

2.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Лабораторная работа №5 Тема: Численное решение Обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка задачи: Дано дифференциальное уравнение		2y - y +3y=x и
начальные условия y(2)=0 y (2)=1	интервал [2;4,4]	n=2

Требуется определить на промежутке [2;4,4] с шагом h приближенные значения функции y(x), y’(x), удовлетворяющие дифференциальному уравнению и начальным условиям в табличной форме. Выполнить решение методами: методом Эйлера, методом Эйлера с усреднением, методом Эйлера с центрированием, методом РунгеКутта.

Ручной счет

Метод Эйлера

Дано дифференциальное уравнение 2y - y +3y=x и начальные условия y(2)=0 y (2)=1 интервал [2;4,4] n=2

Введем обозначение у'=z , тогда y'' =z'. Перепишем исходное уравнение и начальные условия с учетом введенных обозначений.

{		y(2)=0		z(2)=1
Выразим из второго уравнения z'.
{	y(2)=0		z(2)=1

Обозначим f(x,y,z)=			a=2	b=4,4

Вычислим шаг		=	=1,2

x0=2 y0=0	z0=1

Метод Эйлера

Итерационная формула {

( )

Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.

{

x0=2 y0=0 z0=1

Выполним первый шаг i=0

{

Выполним второй шаг i=1

{

x	y	z
2	0	1
3,2	1,2	2,8
4,4	4,56	4,24

			y
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

			z
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

Метод Эйлера усреднением

Итерационная формула

		̅̅̅̅̅
I этап {		̅̅̅̅̅	II этап
	̅̅̅̅̅	(	)
			{
		̅̅̅̅̅
I этап {	̅̅̅̅̅		II этап
I этап {			II этап

̅̅̅̅̅

{

( ̅̅̅̅̅̅)

( (	) (̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅))

(	̅̅̅̅̅̅)

(	̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅	̅̅̅̅̅̅̅	)
(			)

Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.

x0=2 y0=0 z0=1

Выполним первый шаг i=0

	̅
I этап {	̅
I этап {
	̅

(

̅̅̅)

(

)

II этап

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

(

)

(

)

{

Выполним второй шаг i=1

					̅̅̅
I этап {		̅̅̅
I этап {
	̅
	̅
̅̅̅	̅̅̅					̅
II этап
			(						̅̅̅)	(	)

	(						̅̅̅̅ ̅̅̅̅	̅̅̅̅	)	(		)
{	(								)	(		)



x	y			z
2	0			1
3,2	2,28			2,62
4,4	5,057			-0,645

			y
6
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

			z
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
-1

Метод Эйлера с центрированием

Итерационная формула

I этап

II этап

(

)

(

)

{

Запишем итерационную формулу для нашего уравнения.

I этап										II этап
I этап										II этап
{										{


x0=2 y0=0 z0=1
Выполним первый шаг i=0

I этап

{

=2,6 =0,6

II этап

{

Выполним второй шаг i=1

I этап

{

=3,8 =3,852

II этап

{

x	y	z
2	0	1
3,2	2,28	2,62
4,4	5,057	-0,645

			y
6
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
Реализация методов в Mcad

			z
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
-1

М е т о д Э й л е

fz(x y z)			x z 3 y
			2

	x0 2		y0 0	z0 1
	a 2		b 4.4	n 2
h		b a
		n	h 1.2

Ме т о д Э й л е р а

i0 n

x				x h
i 1					i
y	i 1		y		h z
	i 1			i	i

zi 1		zi	h fz xi yi zi
x					yi	zi
x					yi
i						1
					0	1
2					0	2.8

					1.2

3.2
						4.24

					4.56

4.4
4.4

5
4
3
yi
2
1
02	3	4	5
		xi

	5
	4
zi	3
	2
	12	3	4	5
			xi

Метод Эйлера с усреднением


x
x
	i 1
y		i 1
		i 1
z
	i 1		z
				i
xi			yi

x h

z h fz x y z

i i

fz x y

z fz x h y

h z z h fz x y

i i

2	0	1

3.2	2.28	2.62

4.4	5.057	-0.645

6
4
yi
2
02	3	4	5
		xi

	3
	2
zi	1
	0
	12	3	4	5
			xi

М е т о д Э й л е р а с ц е н т р и р о в а н ием

x h

i 1

h z

fz x y

yi 1

z h fz x

fz x y

zi 1

z z

i i

3.2

2.28

2.62

4.4

5.057

-0.645

6
4
yi
2
02	3	4	5
		xi

	3
	2
zi	1
	0
	12	3	4	5
			xi

М е т о д Р у н г е -К у т т а

						y1
	y	0
	y				D(x y) x y1			3 y0
y					D(x y) x y1			3 y0
	z
	z
	0					2
S rkfixed(y a b n D)
2	0		1
S 3.2	2.003		1.866

4.4	3.124		0.382
x S 0			y S 1				z S 2
2					0			1
2			y			z
x 3.2			y		2.003	z		1.866
				3.124			0.382
4.4				3.124			0.382
4.4

	4
	3
yi	2
	1
	02	3	4	5
			xi

2
1
zi
0
12	3	4	5
		xi

Реализация в программе MS Excel Метод Эйлера (формулы и результат)

			y
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

			z
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

Метод Эйлера с усреднением (формулы и результат)

			y
6
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

			z
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
-1

Метод Эйлера с центрированием (формулы и результат)

			y
6
5
4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5

			z
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
-1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в папке Информатика 2 семестр

#
16.09.2022728.81 Кб4Laboratornaya_rabota_3_-_chast_1_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022789.38 Кб3Laboratornaya_rabota_3_-_chast_2_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022963.57 Кб1Laboratornaya_rabota_4_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022911.63 Кб2Laboratornaya_rabota_5_-_vypolnenie_2_semestr.pdf
#
16.09.20221.07 Mб3lab_rabota_3-chast_3_vypolnenie.pdf
#
16.09.20222.94 Mб2obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr.pdf
#
16.09.202212.64 Кб3Лаб 4.xlsx
#
16.09.2022275.66 Кб1Мадкад лаб 5.rtf
#
16.09.202296.21 Кб3Мадкад лаб.3 ч.1.rtf
#
16.09.2022173.51 Кб2Мадкад лаб.3 ч.2.rtf
#
16.09.2022115.51 Кб3Мадкад лаб.3 ч.3.rtf