Информатика 2 семестр / obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr

Добавил:

SergeyKorabel 19-КСУ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Информатика

Файл:

a30 a31 0,7 0,6

. Из 2 уравнения найдем a31

2 . Из 1 уравнения найдем a30 .

a31 0,15 0,3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.09.2022

Размер:

2.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Реализация в программе MS Excel Построение интерполирующей функции с помощью тренда

Квадратичная интерполяция

1.Ввести исходные данные – значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй строке.

2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – «Точечная» точки без соединения линиями).

3.Для построения полинома 2-й степени P2(x)= a0 + a1 x + a2 x2 выберем три точки (x0, y0), (x1, y1) и (x4, y4).

4.Добавим ряд из этих точек.

Построим для этого ряда полиномиальный тренд 2-й степени и показать уравнение на диаграмме.

Кусочно-линейная интерполяция (Метод неопределѐнных коэффициентов)

Постановка задачи: Дана таблично заданная функция {xi,yi}

i	0	1	2	3	4
x	0,2	0,4	0,7	0,85	1
y	0,1	0,5	0,6	0,9	0,7

Выполнить кусочно – линейную интерполяцию.

Система для нахождения							Ответ
коэффициентов полинома на
каждом участке
1 участок		2участок
a10 a11 x0	y0	a20	a21 x1	y1	a1		a1	x,приx	x x
	y1		a21 x2	y2		0	1	0	1
a10 a11 x1	y1	a20	a21 x2	y2	a2		a2	x,приx	x x
						0	1	1	2
					P1( x ) a3		a3	x,приx	x x
3 участок		4участок				0	1	2	3
3 участок		4участок			a40		a41 x,приx3 x x4
a30 a31 x2 y2		a40 a41 x3 y3			a40		a41 x,приx3 x x4
	y3		a41 x4	y4
a30 a31 x3	y3	a40	a41 x4	y4

На интервале от 0,2 до 1 задано 5 точек, получаем 4 отрезка. Интерполируем (метод Неопределенных коэффициентов) полиномом 1 степени каждый отрезок. После нахождения каждого полинома запишем результат.

1 участок.

i	0	1	Общий вид полинома P11( x ) a10				a11 x . По условию интерполяции полином
x	0,2	0,4
			должен проходить через точки, которые выбраны для построения, т.е.
y	0,1	0,5
			P11( x0 ) y0			a10		a11 x0	y0
										. Подставим значения
			P11( x		) y	Следовательно a1		a1 x	y
				1	1		0	1 1	1

		a10 a11 0,2 0,1				.Неизвестными в системе являются
x0 ,x1, y0 , y1. В результате получаем			a1 a1 0,4 0,5			.Неизвестными в системе являются
			a1 a1 0,4 0,5
			0	1
			1
			1	0,2	0,1
a10 ,a11 .Решим систему методом Гаусса.					. Приведем систему к треугольному виду,
			1	0,4	0,5
для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку и результат запишем на место 2
1						a10 a11 0,2 0,1
1	0,2	0,1				a10 a11 0,2 0,1		. Из
строки. 0	0,2	0,4 . Запишем полученную матрицу в виде системы.					a1 0,2 0,4	. Из
							1
							1

2 уравнения найдем a1 0,4

a1 2 . Из 1 уравнения найдем a1 .

0,1 0,2 a1

0,2

a10 0,1 0,2 2

a10 0,3. Запишем найденное уравнение P11( x ) 0,3 2 x . Проверка.

Найденное уравнение должно проходить через точки x0 , y0 , x1, y1 .

P11( x0 ) 0,3 2 x0

P11( 0,2 ) 0,3 2 0,2

P11( 0,2 ) 0,1

P11( x1 ) 0,3 2 x1

P11( 0,4 ) 0,3 2 0,4

P11( 0,4 ) 0,5 Следовательно прямая проходит через 0 и 1 точки.

2 участок.

Общий вид полинома P12( x ) a20

a21 x . По условию интерполяции полином

0,4

0,7

должен проходить через точки, которые выбраны для построения, т.е.

0,5

0,6

P12( x ) y

a2 x y

Следовательно

1 1

1 . Подставим значения

P12( x2 ) y2

a20

a21 x2

x1,x2 , y1, y2				a20 a21 0,4 0,5			.Неизвестными в системе являются
x1,x2 , y1, y2	. В результате получаем						.Неизвестными в системе являются
				a20 a21 0,7 0,6
				1	0,4	0,5
				1	0,4	0,5
a20 ,a21 .Решим систему методом Гаусса.						. Приведем систему к треугольному виду,
				1	0,7	0,6
для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку, и результат запишем на место 2
1	0,4	0,5					a20 a21 0,4 0,5					. Из
1	0,4	0,5					a20 a21 0,4 0,5
строки. 0	0,3	0,1 . Запишем полученную матрицу в виде системы.							a2		0,3 0,1
			0,1							1
										1
2 уравнения найдем a2				a2 0,333. Из 1 уравнения найдем a2				0	. a2	0	0,5 0,4 a2
2 уравнения найдем a2				a2 0,333. Из 1 уравнения найдем a2					. a2		0,5 0,4 a2
	1		0,3	1								1
			0,3

a20 0,5 0,4 0,333 a20 0,3668. Запишем найденное уравнение

P12( x ) 0,3668 0,333 x . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки

x1, y1 , x2 , y2 .

P12( x1 ) 0,3668 0,333 x1 P12( 0,4 ) 0,3668 0,333 0,4

P12( 0,4 ) 0,5

P12( x2 ) 0,3668 0,333 x2 P12( 0,7 ) 0,3668 0,333 0,7

P12( 0,7 ) 0,6 Следовательно прямая проходит через 1-ю и 2-ю точки.

3 участок.
i	2	3	Общий вид полинома P13( x ) a30					a31 x . По условию интерполяции
x	0,7	0,85	Общий вид полинома P13( x ) a30					a31 x . По условию интерполяции
x	0,7	0,85	полином должен проходить через точки, которые выбраны для построения, т.е.
y	0,6	0,9
y	0,6	0,9	P13( x2 ) y2				a30		a31 x2			y2
			P13( x2 ) y2				a30		a31 x2			y2	. Подставим значения
			P13( x		) y	Следовательно a3			a3 x			y	. Подставим значения
				3	3			0		1 3		3
							a30 a31 0,7 0,6					.Неизвестными в системе
x2 ,x3 , y2 , y3 . В результате получаем												.Неизвестными в системе
							a30 a31 0,85 0,9
							1			0,7	0,6
							1			0,7	0,6
являются a30 ,a31 .Решим систему методом Гаусса.												. Приведем систему к
							1			0,85	0,9
треугольному виду, для этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку, и результат
					1	0,7	0,6
					1	0,7	0,6
запишем на место 2 строки.							. Запишем полученную матрицу в виде системы.
					0	0,15	0,3

a30 0,6 0,7 a31 a30 0,6 0,7 2 a30 0,8 . Запишем найденное уравнение P13( x ) 0,8 2 x . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки

x2 , y2 , x3 , y3 .

P13( x2 ) 0,8 2 x2

P13( 0,7 ) 0,8 2 0,7 P13( 0,7 ) 0,6

P13( x3 ) 0,8 2 x3

P13( 0,85) 0,8 2 0,85

P13( 0,85) 0,9 .Следовательно, прямая проходит через 2-ю и 3-ю точки. 4 участок.

i 3 4

x	0,85	1	Общий вид полинома		P14( x ) a40 a41 x . По условию интерполяции
y	0,9	0,7	Общий вид полинома		P14( x ) a40 a41 x . По условию интерполяции
y	0,9	0,7	полином должен проходить через точки, которые выбраны для построения, т.е.

P14( x ) y				a4		0	a4 x			3	y	3 . Подставим значения x3 ,x4 , y3 , y4	. В
		3	3	Следовательно		0	1			3		3 . Подставим значения x3 ,x4 , y3 , y4	. В
P14( x4 ) y4				a40			a41 x4				y4
				a40 a41 0,85 0,9					.Неизвестными в системе являются a40 ,a41
результате получаем					1 0,7				.Неизвестными в системе являются a40 ,a41
				a40 a41	1 0,7
				1	0,85			0,9
				1	0,85			0,9
.Решим систему методом Гаусса.									. Приведем систему к треугольному виду, для
				1			1	0,7

этого 1 строку перепишем, из 2 строки вычтем 1 строку, и результат запишем на место 2 строки.

1	0,85	0,9		a40 a41 0,85 0,9				. Из 2

0	0,15	0,2 . Запишем полученную матрицу в виде системы.			a4		0,15 0,2
			0,2			1

уравнения найдем a4				a4 1,333. Из 1 уравнения найдем a4		0	.
	1		0,15	1

a40 0,9 0,85 a41			a40 0,9 0,85 ( 1,333) a40 2,033. Запишем найденное

уравнение P14( x ) 2,033 1,333 x . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через

точки x3 , y3 , x4 , y4 .

P14( x3 ) 2,033 1,333 x3 P14( 0,85) 2,033 1,333 0,85

P14( 0,85) 0,9

P14( x4 ) 2,033 1,333 x4 P14(1) 2,033 1,333 1

P14(1) 0,7 .Следовательно, прямая проходит через 3-ю и 4-ю точки.

		0,3 2 x,если0,2 x 0,4

	Запишем ответ P1( x ) 0,3668 0,333 x,если0,4 x 0,7
		0,8 2 x,если0,7 x 0,85
		2,033 1,333 x,если0,85 x 1
		2,033 1,333 x,если0,85 x 1

Построим график

Реализация метода в Mcad

Метод неопределѐнных коэффициентов(кусочно-линейная интерполяция)

	0.	2					0.1
	0.	4					0.5
	0.	4					0.5
x	0.	7		y			0.6
	0.85						0.9

	1						0.7
1 участок
	1	x			y	0
C1			0	D1		0

	1	x			y
	1	x			y
			1			1

a1 C1 1 D1

0.3

P11(x) a10 a11 x

2 участок

	1		x		y	1
C2			1	D2

		1	x		y

			2			2

a2 C2 1 D2

0.3670.333

P12(x) a20 a21 x

Исходные данные

i 0 4

Матрицы C1 и D1 для системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а10 и а11

Интерполирующая функция 1 участка

Матрицы C2 и D2 для системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а20 и а21

Интерполирующая функция 2 участка

	3 участок
		1	x						y					Матрицы C3 и D3 для системы линейных
		1	x						y	2				уравнений
	C3		2					D3		2				уравнений

		1	x						y
		1	x						y
			3							3
	a3 C3 1 D3													Решение системы линейных уравнений
														нахождение коэффициентов а30 и а31
		0.8
	a3
			2
	P13(x) a30 a31 x													Интерполирующая функция 3 участка
	P13(x) a30 a31 x
	4 участок
				1		x					y			Матрицы C4 и D4 для системы линейных
				1		x					y	3		уравнений
	C4					3		D4				3		уравнений

				1		x					y
				1		x					y
						4						4
	a4 C4 1 D4													Решение системы линейных уравнений
														нахождение коэффициентов а40 и а41
			2.033
		a4
			1.333
		P14(x)				a40 a41 x								Интерполирующая функция 4 участка
		P14(x)				a40 a41 x
		P1(t) if t x1 P11(t) if t x2 P12(t) if t x3 P13(t) P14(t)													Ответ
		P1(t) if t x1 P11(t) if t x2 P12(t) if t x3 P13(t) P14(t)
								1
				P1 xi
				y i			0.5
				y i
								0 0					0.5	1
													xi
Кусочно-параболическая интерполяция (Метод неопределѐнных
коэффициентов)
Постановка задачи: Дана таблично заданная функция {xi,yi}
i	0				1			2				3		4
x	0,2				0,4			0,7				0,85		1
y	0,1				0,5			0,6				0,9		0,7
	Выполнить кусочно – параболическую интерполяцию.

Система для нахождения

Ответ

коэффициентов полинома

на каждом участке

1 участок

a1 a1 x

a11 x1

a10

a12 x1

a10 a11 x

a12

a10

a11

x a12

, при x0

x x2

P2( x)

a21

x a22

x 2 , при x2

x x4

a20

2 участок

a2	0	a2	x	2	a2	2	x2	y	2		На
	0	1		2		2	2		2		На
a20 a21 x3					a22		x32	y3			инт
a2	0	a2	x	4	a2	2	x2	y	4		ерв
	0	1		4		2	4		4		але
											але
											от
0,2 до 1 задано 5 точек, разобьѐм его на 2 отрезка x0 x x2										и x2 x x4 . Интерполируем

(метод Неопределенных коэффициентов) полиномом 1 степени каждый отрезок. После нахождения каждого полинома запишем результат.

1 участок.

i	0	1	2
x	0,2	0,4	0,7
y	0,1	0,5	0,6

Общий вид полинома P21( x ) a10 a11 x a2 x2 . По условию интерполяции полином должен проходить через точки, которые выбраны для

P21( x ) y

0 0

построения, т.е. P21( x1 ) y1 Следовательно

P21( x ) y

2 2

a1 a1 x a1 x						0	2 y	0
	0	1		0	2
					a12 x12 y1 . Подставим значения x0 ,x1,x2 , y0 , y1, y2 . В результате
a10		a11	x1
a1 a1 x				2	a1 x	2	2 y	2
	0	1			2
		a1 a1 0,2 a1 0,22							0,1
			0		1		2
					a11 0,4		a12 0,42		0,5	.Неизвестными в системе являются a10 ,a11,a12
получаем a10
		a1 a1 0,7 a1 0,72							0,6
			0		1		2

			0,2	2	0,1
	1 0,2		0,2	2	0,1
				2
.Решим систему методом Гаусса.		0,4	0,42		0,5	. Приведем систему к треугольному виду,
.Решим систему методом Гаусса.	1	0,4	0,42		0,5	. Приведем систему к треугольному виду,
					0,6
	1	0,7	0,7
	1	0,7	0,7

для этого 1-ю строку перепишем, из 2-ой строки вычтем 1-ю строку, из 3-ей строки вычтем 1-ю

строку и результат запишем на место 3-ей строки.

2-ю строку поделим на 0,2, а 3-ю строку на 0,5.

1		0,2	0,04	0,1
1		0,2	0,04	0,1
	0	0,2	0,12	0,4	. Перепишем 1-ю строку, а
	0	0,5	0,45	0,5
	0	0,5	0,45	0,5

	1		0,2	0,04	0,1
	1		0,2	0,04	0,1
Система примет вид		0	1	0,6	2	. Преобразуем систему перепишем 1-ю и 2-ю строки, а
		0	1	0,9	1
		0	1	0,9	1

из 3-ей строки вычтем 2-ю строку, результат запишем на место 3-ей строки. Получим следующую

		1		0,2 0,04		0,1
		1		0,2 0,04		0,1
систему			0	1	0,6	2	. Запишем полученную матрицу в виде системы.
			0	0	0,3
			0	0	0,3	1
a1 a1 0,2 a1 0,04 0,1
	0		1		2				1	a12 3,333. Из 2-го
		a11		a12	0,6 2		. Из 3 уравнения найдем a12		1
		a11		a12	0,6 2		. Из 3 уравнения найдем a12
		a12		0,3 1				0,3
		a12		0,3 1

уравнения найдем a11. a11 2 0,6 a12 a21 2 0,6 3,333 a11 4 . Из 1-го уравнения

получим a10 a10 0,1 0,2 a11 0,04 a12 a10 0,1 0,2 4 0,04 ( 3,333)

a10 0,567.Запишем найденное уравнение P21( x ) 0,567 4 x 3,333 x2 . Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки x0 , y0 , x1, y1 , x2 , y2 .

P21( x0 ) 0,567 4 x0 3,333 x02 P21( 0,2 ) 0,567 4 0,2 3,333 0,22

P21( 0,2 ) 0,1

P21( x				) 0,567 4 x									3,333 x 2							P21( 0,4 ) 0,567 4 0,4 3,333 0,42
			1								1							1
P21( 0,4 ) 0,5
P21( x				2	) 0,567 4 x								2	3,333 x					2	2	P21( 0,7 ) 0,567 4 0,7 3,333 0,72
				2									2						2
P21( 0,7 ) 0,6
Следовательно, полученный полином проходит через 0- ю, 1-ю и 2-ю точки.
2 участок.
i	2			3		4			Общий вид полинома P22( x ) a2															0	a2	x a2			2	x 2 . По условию
									Общий вид полинома P22( x ) a2																a2	x a2				x 2 . По условию
x	0,7			0,85		1																			1
x	0,7			0,85		1			интерполяции полином должен проходить через точки, которые выбраны для
y	0,6			0,9		0,7
y	0,6			0,9		0,7												P22(x ) y
																		P22(x ) y
									построения, т.е.									P22(x2 ) y2					Следовательно
									построения, т.е.												3	3	Следовательно

																		P22(x4 ) y4
a2		0	a2 x				2	a2		2	x		2		y	2
		0			1		2			2		2				2
								a22 x32							y3 . Подставим значения x2 ,x3 ,x4 , y2 , y3 , y4 . В результате
a20			a21 x3					a22 x32
a2		0	a2 x				4	a2		2	x		2		y	4
		0			1		4			2		4				4
					a2		0	a2 0,7 a2									2	0,72 0,6
							0	1									2
							a21 0,85 a22											0,852			0,9 .Неизвестными в системе являются
получаем a20							a21 0,85 a22											0,852			0,9 .Неизвестными в системе являются
																	2	0,7
					a20 a21 1 a22 1													0,7
																									0,7	2	0,6
																						1 0,7			0,7		0,6
a20 ,a21,a22 .Решим систему методом Гаусса.																						1	0,85		0,852		0,9	. Приведем систему к
																									2		0,7
																											0,7
																						1	1		1
																						1	1		1

треугольному виду, для этого 1-ю строку перепишем, из 2-ой строки вычтем 1-ю строку, из 3-ей

	1		0,7	0,49	0,6
	1		0,7	0,49	0,6
строки вычтем 1-ю строку и результат запишем на место 3-ей строки.		0	0,15	0,2325	0,3	.
		0	0,3	0,51	0,1
		0	0,3	0,51	0,1

Перепишем 1-ю строку, а 2-ю строку поделим на 0,15, а 3-ю строку на 0,3.Система примет вид

1		0,7 0,49				0,6

	0		1	1,55		2			. Преобразуем систему перепишем 1-ю и 2-ю строки, а из 3-ей строки
	0		1	1,7
						0,333
вычтем 2-ю строку, результат запишем на место 3-ей строки. Получим следующую систему
1		0,7 0,49			0,6

	0		1	1,55	2					. Запишем полученную матрицу в виде системы.
	0		0	0,15
					1,667
a2		0	a2 0,7 a2					2	0,49 0,6		1,667
				1								a22 11,111. Из
				a21 a22			1,55			2	. Из 3 уравнения найдем a22 0,15
				a22 0,15 1,667

2-го уравнения найдем a21 . a21 2 1,55 a22 a21 2 1,55 11,111 a21 19,222. Из 1-

го уравнения получим a20 a20 0,6 0,7 a21 0,49 a22

a21 0,6 0,7 19,222 0,49 ( 11,111) a20 7,411.Запишем найденное уравнение

P22(x) 7,411 19,222 x 11,111 x2 .

Проверка. Найденное уравнение должно проходить через точки x2 , y2 , x3 , y3 , x4 , y4 .

P22(x2 ) 7,411 19,222 x2 11,111 x22 P22(0,7) 7,411 19,222 0,7 11,111 0,72

P22(0,7) 0,6

P22(x3 ) 7,411 19,222 x3 11,111 x32

P22(0,85) 7,411 19,222 0,85 11,111 0,852

P22(0,85) 0,9

P22(x4 ) 7,411 19,222 x4 11,111 x42 P22(1) 7,411 19,222 1 11,111 12

P22(1) 0,7 Следовательно, полученный полином проходит через 2- ю, 3-ю и 4-ю точки.

0,567 4 x 3,333 x2 ,если 0,2 x 0,7

Запишем ответ P2( x)

7,411 19,222 x 11,111 x2 ,если 0,7 x 1

Построим график

Реализация метода в Mcad

Метод неопределѐнных коэффициентов(кусочно-параболическая интерполяция)

	0.2		0.1	Исходные данные
	0.2		0.1
	0.4		0.5
	0.4		0.5
x	0.7	y 0.6		i 0 4
	0.85		0.9

	1	1 участок	0.7
		1 участок

	x0	x0	2
1	x0	x0
		x1
C1 1 x1		x1	2
		x2
	x2		2
1	x2

a1 C1 1 D1

			0.5667
	a1		4


			3.3333

y		Матрицы C1 и D1 для системы линейных
y	0	уравнений
	0	уравнений
D1 y	1
	1
y
	2

Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а10 , а11 и а12

			2				Интерполирующая функция 1 участок
P21(x) a10 a11 x			a12 x				Интерполирующая функция 1 участок
P21(x) a10 a11 x			a12 x
2 участок
	x2	2			y			Матрицы C2 и D2 для системы линейных
		2			y
1 x2						2		уравнений
	x3
C2 1 x3	x3	2	D2	y3
				y
	x4	2				4
1 x4	x4
a2 C2 1 D2				Решение системы линейных уравнений
				нахождение коэффициентов а20 , а21 и а22

7.4111 a2 19.222211.1111


	2		Интерполирующая функция 2 участок
P22(x) a20 a21 x a22 x

P2(t)	if t x2 P21(t) P22(t)			Ответ

xp 0 0.05		1		точки для построения полинома

1
P2 ( xp )
0
y i
1 0	0.5	1
	xp xi

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Информатика 2 семестр

#
16.09.2022728.81 Кб4Laboratornaya_rabota_3_-_chast_1_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022789.38 Кб3Laboratornaya_rabota_3_-_chast_2_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022963.57 Кб1Laboratornaya_rabota_4_vypolnenie.pdf
#
16.09.2022911.63 Кб2Laboratornaya_rabota_5_-_vypolnenie_2_semestr.pdf
#
16.09.20221.07 Mб3lab_rabota_3-chast_3_vypolnenie.pdf
#
16.09.20222.94 Mб2obrazets_vypolnenia_laboratornykh_rabot_2_semestr.pdf
#
16.09.202212.64 Кб3Лаб 4.xlsx
#
16.09.2022275.66 Кб1Мадкад лаб 5.rtf
#
16.09.202296.21 Кб3Мадкад лаб.3 ч.1.rtf
#
16.09.2022173.51 Кб2Мадкад лаб.3 ч.2.rtf
#
16.09.2022115.51 Кб3Мадкад лаб.3 ч.3.rtf