Лабораторная работа №3 Тема: «Аппроксимация и интерполяция»
Метод Неопределенных коэффициентов
РУЧНОЙ СЧЕТ
Постановка задачи: Дана таблично-заданная функция {xi,yi}
Интерполировать точки (методом неопределѐнных коэффициентов) полиномом 1 и 2 степени -Выполнить ручной счет.
-Реализовать в программе MCAD -Реализовать в программе MS Excel (тренды)
Ручной счет Интерполяция полином 1 степени.
Зададим общий вид полинома 1 степени
P1(x)=a0+a1*x.
Выберем для построения 0- ю точку и 3-ю точку. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений
a0 a1 x0 y0a0 a1 x3 y3
Получаем систему:
a0 0.2 a1 0.1a0 0.85 a1 0.9
Запишем систему в матричном виде. |
|
|
|||||||||||||
|
0,2 |
|
|
|
a |
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 0,85 |
|
|
0,9 |
|
|
|
|
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим систему методом Гаусса. |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Перепишем 1- е уравнение без изменений, а из 2-го уравнения вычтем 1-е |
||||||||||
1 |
0,85 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение и результат запишем на место второго уравнения. Получим систему |
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,65 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 0,2a1 0,1 |
. |
|
Запишем полученные данные в виде системы линейных уравнений: |
0,65a 0,8 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Из 2-го уравнения найдѐм a |
0,8 |
. Получим a1 1,231. Из 1-го уравнения найдѐм |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a0 0,1 0,2 a1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a0 |
0,1 0,2 1,231 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a0 0,146 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем найденное уравнение P1(x) 0,146 1,231 x . ОТВЕТ |
|
|
|||||||||||||
Найдѐм отклонения полученного полиномаP1(x) от заданных точек y.
В 0-ой точке
O0 P1( x0 ) y0
P1(x0 ) 0,146 1,231 x0
P1( 0,2 ) 0,1
O0 0,1 0,1 0
В 1-ой точке
O1 P1( x1 ) y1
P1(x1 ) 0,146 1,231 x1
P1(0,4) 0,346
O1 0,346 0,5 0,154
В 2-ой точке
O2 P1( x2 ) y2
P1(x2 ) 0,146 1,231 x2
P1(0,7) 0,715
O2 0,715 0,6 0,115
В 3-ей точке
O3 P1( x3 ) y3
P1(x3 ) 0,146 1,231 x3
P1( 0,85) 0,9
O3 0,9 0,9 0
В 4-ой точке
O4 P1( x4 ) y4
P1(x4 ) 0,146 1,231 x4
P1(1) 1,084
O4 1,085 0,7 0,385
Построим график функции P1( x ) и отметим исходные точки на этом же графике
Интерполяция
у
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O4 |
||||||||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
1 |
1,2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
х
Реализация метода в Mcad
Метод неопределѐнных коэффициентов(полином 1- ой степени P1(x)=a0 + a1 x)
|
0.2 |
|
|
|
|
0. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0. |
5 |
|
x 0.7 |
|
|
y 0. |
6 |
|||||
|
0.85 |
|
|
|
|
0. |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0. |
7 |
|
|
1 |
x |
|
|
y |
0 |
|
|
|
C |
|
0 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
x |
|
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
a C 1 D |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.146 |
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.231 |
|
|
|
|
|
|
||
Исходные данные
i 0 4
Матрицы C и D для системы линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений нахождение коэффициентов а0 и а1
P1(x) a0 a1 x
Вычисление ошибки интерполяции
Oi P1 xi yi
Oi
Интерполирующая функция |
|
||
|
График найденного полинома и |
||
|
исходных точек |
|
|
|
1.5 |
|
|
y i |
1 |
|
|
P1 xi |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0.5 |
1 |
|
|
xi |
|
Реализация в программе MS Excel
Построение интерполирующей функции с помощью тренда
Линейная интерполяция
1.Ввести исходные данные – значения Х разместить в 1- й строке значения Y во второй строке.
2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – «Точечная»).
3.Для построения полинома 1-й степени P1(x)= a0 +a1·x выберем две точки (x0, y0) и (x3, y3).
4.Добавим ряд из этих точек.
5.Построим для этого ряда линейный тренд и показать уравнение на диаграмме.
6.В позициях прогноз установить вперед- 0,5, назад – 0,5.
Ручной счет Интерполяция полином 2 степени.
Зададим общий вид полинома 2 степени P2(x)=a0+a1*x+a2*x2. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений
a0 a1 x0 a2 x02 y0
a0 a1 x1 a2 x12 y1
a0 a1 x4 a2 x42 y4
a |
0 |
0,2 a 0,22 |
a |
2 |
|
|
1 |
|
|
||
Получаем систему: a0 |
0,4 a1 0,42 |
a2 |
|||
|
|
2 |
a2 |
||
|
a0 1 a1 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0,2 |
|||
Запишем систему в матричном виде. 1 |
|
0,4 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Решим систему методом Гаусса.
0,10,5 0,7
|
a |
0 |
|
|
0,1 |
|
0,04 |
a |
|
|
|
||
0,16 |
0,5 |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
a2 |
0,7 |
||||
1 |
0,2 |
0,04 |
|
0,1 |
|
|
|
|
|||||
|
0,4 |
0,16 |
|
0,5 |
|
Перепишем 1- е уравнение без изменений, а из 2-е уравнения вычтем |
1 |
|
|
||||
1 |
1 |
1 |
|
0,7 |
|
|
1-е уравнение и результат запишем на место второго уравнения, из 3-го уравнения вычтем 1-е уравнение и результат запишем на место третьего уравнения.
1 |
0,2 |
0,04 |
|
0,1 |
|
||
|
|
||||||
|
0 |
0,2 |
0,12 |
|
0,4 |
|
В результате получаем систему. |
|
0 |
0,8 |
0,96 |
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
||||
. Выполним деление 2-е уравнение на 0,2 , 3-е уравнение на 0,8. В результате получим
1 |
0,2 |
0,04 |
|
0,1 |
||||||
|
||||||||||
|
0 |
|
1 |
0,6 |
|
2 |
|
|||
систему |
|
|
. Перепишем 1-е и 2- е уравнение без изменений, |
|||||||
|
0 |
|
1 |
1,2 |
|
0,75 |
|
|||
из 3-го уравнения вычтем 2-е уравнение и результат запишем на место третьего |
||||||||||
|
1 |
0,2 |
0,04 |
|
0,1 |
|
||||
|
|
|
||||||||
уравнения. |
0 |
1 |
0,6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,25 |
|
||||||
Запишем полученные данные в виде системы линейных уравнений:
a |
0 |
0,2a 0,04 a |
2 |
0,1 |
1,25 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
. Из 3-го уравнения найдѐм a2 |
. Получим |
|||
|
|
a 0,6 a |
2 |
2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
0,6 a |
2 |
1,25 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 2,083 . |
|
|
|
Из 2-го уравнения найдѐм a1 2 0,6 a2 . |
a1 2 0,6 ( 2,083) |
a1 3,25 . |
|
Из 1-го уравнения найдѐм a0 0,1 0,2 3,25 0,04 ( 2,083) . a0 |
0,467 . Запишем |
||
найденное уравнение P2(x) 0,467 3,25 x 2,083 x2 . |
|
|
|
Найдѐм отклонения полученного полиномаP2(x) от заданных точек y.
В 0-ой точке
O0 P2( x0 ) y0 P2(x0 ) 0,467 3,25 x0 2,083 x02 P2( 0,2 ) 0,1
O0 0,1 0,1 0
В 1-ой точке
O1 P2( x1 ) y1 P2(x1 ) 0,467 3,25 x1 2,083 x12 P2( 0,4 ) 0,5
O1 0,5 0,5 0
В 2-ой точке
O2 P2( x2 ) y2 P2(x2 ) 0,467 3,25 x2 2,083 x2 2 P2(0,7) 0,787
O2 0,787 0,6 0,187
В 3-ей точке
O3 P2( x3 ) y3 P2(x3 ) 0,467 3,25 x3 2,083 x32 P2(0,85) 0,791
O3 0,791 0,9 0,109
В 4-ой точке
O4 P2( x4 ) y4 P2(x4 ) 0,467 3,25 x4 2,083 x4 2 P2(1) 0,7
O4 0,7 0,7 0
Построим график функции P2( x ) и отметим исходные точки на этом же графике.
Реализация метода в Mcad
Реализация в программе MS Excel Построение интерполирующей функции с помощью тренда
Квадратичная интерполяция
1.Ввести исходные данные – значения Х разместить в 1- ой строке значения Y во второй строке.
2.Построить диаграмму по всем точкам (тип диаграммы – «Точечная» точки без соединения линиями).
3.Для построения полинома 2-й степени P2(x)= a0 + a1 x + a2 x2 выберем три точки (x0, y0), (x1, y1) и (x4, y4).
4.Добавим ряд из этих точек.
Построим для этого ряда полиномиальный тренд 2-й степени и показать уравнение на диаграмме.