Информатика 2 семестр / Laboratornaya_rabota_5_-_vypolnenie_2_semestr

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Решение нелинейного уравнения с одной неизвестной.

1.Шаговый метод.

Постановка задачи. Для данного нелинейного уравнения x2-5 x+6=0 с одной неизвестной величиной на промежутке [2,2;3,5] найти интервал изоляции корня с шагом h=0,15

Ручной счет

Вывод: в точке х5=2,95 значение функции f(x5)<0, в точке х6=3,1 значение функции f(x6)>0, то есть функция меняет знак на отрезке [2,95; 3,1]. Следовательно, найден интервал изоляции корня, содержащий корень.

0,56

0,313

0,110

-0,047

-0,160

-0,228 -0,250

Рисунок шагового метода

Реализация в программе MSExcel

Результат реализации в программе MSExcel

Реализация в программе Mcad

2. Метод половинного деления

Постановка задачи: Для данного нелинейного уравнения x2-5 x+6=0 с одной неизвестной величиной на интервале изоляции корня [2,95;3,1] найти приближенный корень с точностью 0,01.

Ручной счет: Обозначим левую границу интервала изоляции a=2,950, а правую b=3,100. Делим интервал изоляции корня пополам, т.е. находим среднюю точку хс

3

Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=3,0252-5*3,025+6=0,026

Проверяем |f(xc)|<0,01 |0,026|<0,01 нет, это значит что значение x= 3,025 нельзя считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.

Поэтому необходимо выбрать одну из половин интервала [2,950;3,025] и [3,025;3,100] для дальнейшего расчета.

f(a)=f(2,950)= - 0,047 f(xc)=f(3,025)=0,026 f(b)=f(3,100)=0,110

Для выбора одной из половин интервала проверяем условие f(a)*f(xc)<0 (-0,047)*0,026<0 да,

Произведение отрицательно, следовательно, на левом половине интервала есть корень.

Делаем следующий шаг. Теперь a=2,950 b=3,025

На интервале [2,950;3,025] находим среднюю точку хс

Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=2,9882-5*2,988+6=-0,012

Проверяем |f(xc)|<0,01 |-0,012|<0,01 нет, это значит что значение x= 2,988 нельзя считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.

Поэтому необходимо выбрать одну из половин интервала [2,950;2,988] и [2,988;3,025] для дальнейшего расчета.

f(a)=f(2,950)= - 0,047 f(xc)=f(2,988)= - 0,012 f(b)=f(3,025)=0,026

Для выбора одной из половин интервала проверяем условие f(a)*f(xc)<0 (-0,047)*(-0,012)<0 нет,

Произведение положительно, следовательно, на левом половине интервала нет корня, он на правой половине.

Делаем следующий шаг. Теперь a=2,988 b=3,025

На интервале [2,988;3,025] находим среднюю точку хс

Вычислим значение функции в точке xc. f(xc)=xc2-5*xc+6=3,0062-5*3,006+6=0,006

Проверяем |f(xc)|<0,01 |0,006|<0,01 да, это значит что значение x= 3,006 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01.

Вывод: x= 3,006 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01, т.к. |f(3,006)|<0,01 |0,006|<0,01

Рисунок метода половинного деления

Реализация в программе MSExcel

Результат реализации в программе MSExcel

Реализация в программе Mcad

5

3. Метод Ньютона

Постановка задачи: Для данного нелинейного уравнения x2-5 x+6=0 с одной неизвестной величиной на интервале изоляции корня [2,95;3,1] найти приближенный корень с точностью 0,0001.

Ручной счет.

Проверим какой из концов интервала изоляции корня [2,95;3,1] (найденный шаговым методом) выбрать в качестве начального приближения к корню. Обозначим a=2,950 b=3,100 Необходимо проверить следующие условия:

f’(a)≠0 и f(a)*f''(a)>0 f’(b)≠0 и f(b)*f''(b)>0

f’(x)=2*x-5 1-я производная f”(x)=2 2-я производная

Проверяем f’(a)=2*a-5=2*2,95000-5=0,90000 f(a)*f’’(a)=(a2-5*a+6)*2=(2,950002-5*2,95000+6)*2=-0,09500<0

Т.к. одно из условий не выполнилось, значение а нельзя брать в качестве начального приближения

x0.

Проверяем f’(b)=2*b-5=2*3,10000-5=1,20000 f(b)*f’’(b)=(b2-5*b+6)*2=(3,100002-5*3,10000+6)*2=0,22000>0

Оба условия выполнились - значение b можно брать в качестве начального приближения x0.

За начальное приближение выбираем x0=3,10000.

Итерационная формула метода Ньютона xi 1 xi f(xi ) . f'(xi )

Вычислим первое приближение к корню i=0

x1 x 0 f(x0 ) : f'(x0 )

f(x0)= x02-5* x0+6=3,100002-5*3,10000-6=0,11000 f’(x0)=2*3,10000-5=1,20000

Реализация в программе Mcad

4. Метод простой итерации

Постановка задачи: Для данного нелинейного уравнения x2-5 x+6=0 с одной неизвестной величиной на интервале изоляции корня [2,95;3,1] найти приближенный корень с точностью 0,01.

Ручной счет.

1 способ

Заданное уравнение x2-5 x+6=0 (f(x) = 0) преобразуем в приведенное. x=x-koef*f(x).

На полученном шаговым методом интервале изоляции корня [2,95;3,1] найдем значение koef.

Сравним первые производные функции на концах интервала изоляции.

|f’(2,95)| > |f’(3,1)|, т.к. |0,90| < |1,20|, то

koef = 1/1,20=0,8333 ( берем значение производной без модуля).

Следовательно, x0 = 3,1.

Запишем итерационную формулу xi+1=xi-koef*f(xi) или xi+1=fi(xi) Вычисляем первое приближение к корню

x1= x0-koef*f(x0)

x1=x0-koef*((x0)2-5*x0+6)= 3,1-0,8333(3,12-5*3,1+6)= 3,0083

Вычислим значение функции при x1=3,0083 f(x1)= x12-5 x1+6=3,0083-5*3,0083+6=0,0084 Проверяем |f(x1)|<eps |0,0084|<0,001 нет,

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

Вычисляем второе приближение к корню

x2= x1-koef*f(x1)

x2=x1-koef*((x1)2-5*x1+6)= 3,0083-0,8333(3,00832-5*3,0083+6)= 3,0013

Вычислим значение функции при x2=3,0013 f(x2)= x22-5 x2+6=3,0013-5*3,0013+6=0,0013 Проверяем |f(x2)|<eps |0,0013|<0,001 нет,

точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.

Вычисляем третье приближение к корню.

x3= x2-koef*f(x2)

x3=x2-koef*((x2)2-5*x2+6)= 3,0013-0,8333(3,00132-5*3,0013+6)= 3,0002

Вычислим значение функции при x3=3,0002 f(x3)= x32-5 x3+6=3,0002-5*3,0002+6=0,0002 Проверяем |f(x1)|<eps |0,0002|<0,001 да,

точность достигнута.

Вывод: x= 3,0002 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,001, т.к. |f(3,0002)|<0,001 |0,0002|<0,001

Реализация в программе MSExcel(1 способ)

9

Реализация в программе Mcad (1 способ)

2 способ

Заданное уравнение x2-5 x+6=0 (f(x) = 0) преобразуем в приведенное, в