Информатика 2 семестр / Laboratornaya_rabota_5_-_vypolnenie_2_semestr
.pdf
котором в левой части оставим х, а в правую часть перенесем все остальное: x2
=5*x-6 .Затем выражаем √ (x=fi(x)).
На полученном в шаговом методе интервале изоляции корня [2,95 ; 3,1] выполним проверку условия сходимости метода для приведенной функции
fi(x)= √ на концах интервала.
Условие сходимости |fi'(x0)| 1, где x0 = 2,95 или x0 = 3,1. Первая производная
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||
fi1(2,95)=0,845 |
fi1(3,1)=0,811. Выбираем в качестве x0 |
,то значение х в |
|||||||||||
котором первая производная по модулю больше. В нашем случае x0=2,95. |
|||||||||||||
Вычисляем |
первое |
приближение к корню x1=fi(x0) |
x1=√ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим значение функции при x1=2,958 |
|
|
|
||||||||||
f(x1)= x12-5 x1+6=2,9582-5*2,958+6=-0,040 |
|
|
|
||||||||||
Проверяем |f(x1)|<eps |
|
|-0,040|<0,01 нет, |
|
|
|
||||||||
точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.
Вычисляем второе |
приближение к корню x2=fi(x1) |
x2=√ |
||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||
Вычислим значение функции при x2=2,965 |
|
|||
f(x2)= x22-5 x2+6=2,9582-5*2,959+6=-0,034 |
|
|||
Проверяем |f(x2)|<eps |
|-0,034|<0,01 нет, |
|
||
точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.
Вычисляем третье |
приближение к корню x3=fi(x2) |
x3=√ |
||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||
Вычислим значение функции при x3=2,971 |
|
|||
f(x3)= x32-5 x3+6=2,9712-5*2,971+6=-0,029 |
|
|||
Проверяем |f(x3)|<eps |
|-0,029|<0,01 нет, |
|
||
точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.
Вычисляем четвертое |
приближение к корню x4=fi(x3) |
x4=√ |
||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||
Вычислим значение функции при x4=2,975 |
|
|||
f(x4)= x42-5 x4+6=2,9752-5*2,975+6=-0,024 |
|
|||
Проверяем |f(x4)|<eps |
|-0,024|<0,01 нет, |
|
||
точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.
Вычисляем пятое приближение к корню x5=fi(x4) x5=√
√
Вычислим значение функции при x5=2,979
11
f(x5)= x52-5 x5+6=2,9792-5*2,979+6=-0,020 Проверяем |f(x4)|<eps |-0,020|<0,01 нет,
точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.
Вычисляем шестое |
приближение к корню x6=fi(x5) |
x6=√ |
||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||
Вычислим значение функции при x4=2,983 |
|
|||
f(x6)= x62-5 x6+6=2,9832-5*2,983+6=-0,017 |
|
|||
Проверяем |f(x6)|<eps |
|-0,017|<0,01 нет, |
|
||
точность не достигнута, следовательно, вычисляем следующее приближение к корню.
И т.д. пока функция не достигнет точности.
Вывод: x= 2,992 можно считать приближенным корнем нашего уравнения с точностью 0,01, т.к. |f(2,992)|<0,01 |0,008|<0,01
Результат реализации в программе MSExcel (2 способ)
Реализация в программе Mcad (2 способ)
x |
|
f x |
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2.95 |
|
|
-0.047 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.958 |
|
|
-0.04 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.965 |
|
|
-0.034 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.971 |
|
|
-0.029 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.975 |
|
|
-0.024 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.979 |
|
|
-0.02 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.983 |
|
|
-0.017 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.986 |
|
|
-0.014 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
8 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.988 |
|
|
-0.012 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.99 |
|
-9.928·10-3 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
10 |
|||
2.992 |
|
-8.299·10-3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
13
Реализация Шагового метода
начало
f(x)=x2-5*x+6
”Vvedite a,b,h”
a, b, h
“Таблица”
“x f(x)”
x[0]=a
y[0]=f(a)
x[0] y[0]
n=(b-a)/h
i=1
нет
i<=n
да
x[i]=a+i*h
y[i]=f(x[i])
x[i] y[i]
нет
f(x[i-1])*f(x[i])<0
да
x[i-1] x[i]
i=i+1
конец
Программа на языке CИ++
#include “stdafx.h” #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double f(double x) { double Y; Y=pow(x,2)-5*x+6; return Y;}
void main() {setlocale(LC_ALL,”Russian”); double a,b,x[11],y[11],h;
int i,n;
cout<<”Vvedite a, b, h”<<endl; cin>>a>>b>>h; cout<<”Таблица\n”; cout<<”\tx \tf(x)\n”;
x[0]=a;
y[0]=f(a); cout<<x[0]<<”\t”<<y[0]<<endl; n=(b-a)/h;
for(i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=a+i*h;
y[i]=f(x[i]); cout<<”\t”<<x[i]<<”\t”<<y[i]<<endl;
if (f(x[i-1])*f(x[i])<0)
cout<<”koren na interval [“<<x[i-1]<<”,”<<x[i]<<”]\n”;
}
}
Реализация метода половинного деления
Программа на языке CИ
#include “stdafx.h” #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double f (double x)
{double Y; Y=pow(x,2)-5*x+6; return Y;}
void main()
{double a,b,xc,e;
cout<<”Vvedite a, b, e”<<endl; cin>>a>>b>>e; cout<<”\t”<<”a”<<”\t”<<”xc”<<”\t”<<”b”
<<”\t”<<”f(a)”<<”\t”<<”f(xc)”<<”\t”<<”f(b)\n”; xc=(a+b)/2;
while(fabs(f(xc))>e)
{xc=(a+b)/2; cout<<”\t”<<a<<”\t”<<xc<<”\t”<<b<<”\t”<<f(a)<<”\t”<<f(xc)
<<”\t”<<f(b)<<endl; if (f(a)*f(xc)<0)
b=xc; else
a=xc;
}
cout<<”koren=”<<xc<<” f(“<<xc<<”)=”<<f(xc)<<endl;
}
Реализация метода Ньютона
15
Программа на языке CИ
#include “stdafx.h” #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double f (double x)
{double Y; Y=pow(x,2)-5*x+6; return Y;}
double f1 (double x)
{double Y;
Y=2*x-5; return Y;} void main()
{ double x0,x1,e=0.0001; cout<<”Vvedite x0”<<endl; cin>>x0;
cout<<”\t”<<”x”<<”\t”<<”f(x)”<<”\t”<<”f1(x)\n”; cout<<”\t”<<x0<<”\t”<<f(x0)<<”\t”<<f1(x0)<<”\n”; while(fabs(f(x0))>e)
{
x1=x0-f(x0)/f1(x0); cout<<”\t”<<x1<<”\t”<<f(x1)<<”\t”<<f1(x1)<<endl; x0=x1;
}}
Метод простой итерации
Программа на языке CИ
#include “stdafx.h” #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; double f (double x)
{double Y; Y=pow(x,2)-5*x+6; return Y;}
double fi (double x)
{double Y; Y=sqrt(5*x-6); return Y;} void main()
{double x0,x1,eps=0.01; cout<<”Vvedite x0”<<endl; cin>>x0;
cout<<”\t”<<”x”<<”\t”<<”f(x)”<<”\n”; cout<<”\t”<<x0<<”\t”<<f(x0)<<”\n”; while(fabs(f(x0))>eps)
x1=fi(x0); cout<<”\t”<<x1<<”\t”<<f(x1)<<endl; x0=x1;
}
}