Пособие кур_раб_2211

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт сферы обслуживания и предпринимательства ДГТУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

,при 0 t 0

,при 0 t 0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

775.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Продолжение табл. 5.4

t a exp at

p a

1 exp at

p(p a)

e at e bt

p a p b

b a

1 at e at

(p a)2

sin t

cos t

e at sin t

p a 2 2

1 e at

p(p a)

Согласно теореме разложения оригинал равен:

p1t

p2t

f t

F1 p1

F1 p2 e

F2 p1

где p1,p2

– простые корни уравнения

F2 p 0.

5.2.1 Примеры расчета переходных процессов операторным методом

Пример первый.

На вход схемы, состоящей из двух параллельно соединённых ветвей (рис. 5.10), в момент времени t=0 подаётся скачок напряжения величиной

U0=2 В.

Найти зависимость входного тока от времени i(t) при нулевых начальных условиях.

Параметры схемы равны:

R=0,5 кОм, L=0,1 Гн, С=2 мкФ.

Рис. 5.10. Параллельный колебательный контур

Операторная схема замещения рассматриваемой электрической цепи представлена на рисунке 5.11.

I(p)

U(p)

Рис. 5.11. Операторная схема замещения цепи рисунка 5.10

Расчёт Закон Ома в операторной форме имеет вид:

= U p

где операторная проводимость

равна:

pL R

Изображение U p определяется выражением:

U p

в формулу (5.38), получим:

Подставив значения U p

Y p

I p

U0(pC

) U0C

pL p

(5.38)

(5.39)

(5.40)

(5.41)

Переходим от изображения входного тока к оригиналу:

i(t) U0C t

2 2 10 6 t

e 5000t

500

(5.42)

4 10 6 t 4 10 3 (1 e 5000t ),A.

График зависимости i(t) представлен на рисунке 5.12.

Рис. 5.12. График зависимости тока i(t) от времени

Пример второй.

На вход изображенной на рисунке 5.13 схемы в момент времени t=0 подается скачок напряжения величиной U0 = 1 B.

Рис. 5.13. Электрический фильтр

Найти зависимость входного тока i1 от времени t при нулевых начальных условиях.

Численные значения параметров элементов схемы: С = 10 мкФ, R = 10 Ом, L = 400 мГн.

Расчёт Операторная схема замещения электрической цепи изображена на

рисунке 5.14.

Рис. 5.14. Операторная схема замещения цепи рисунка 5.13.

Записывая уравнения по первому и второму законам Кирхгофа в операторной форме, получим:

I( p)

IL (p) IC

(p);

;

( p) R

(p)

L p

IL ( p)

( p) R

(p)

IC ( p).

Решая эту систему уравнений относительно

изображения I

( p),

найдем:

U(p) (1 L p C)

I(p)

R C

L p

его значение, равное

, получим:

Подставляя вместо U(p)

0(1 Lp C)

F1(p)

(p)

p(R Lp LRCp )

F2(p)

где

F1(p) U0(1 Lp2C);

F2(p) p(R Lp LRCp2).

Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся теоремой разложения:

i(t) F1(p1)ep1 t F1(p2)ep2 t F1(p3)ep3 t , F2(p1) F2(p2) F2(p3)

																				– производная многочлена
где p1		, p2, p3 корни многочлена							F2(p);							F2(p)				– производная многочлена

F2(p).

		Найдем эти корни, приравнивая F2(p) к нулю:
																		2		) 0.
								p(Lp R LRCp												) 0.
		Из уравнения следует, что											0.
		Из уравнения следует, что								p1			0.
		Корни p2 и
		Корни p2 и			p3 найдем, приравнивая к нулю второй сомножитель
уравнения:
												2
								LRCp						Lp R 0.
		Решая уравнение, находим:
									1
									1									1			1
						p2																			,
						p2			2RC								4R2C2								,
									2RC								4R2C2				LC
									1
									1									1			1
						p3																		.
						p3											4R2C2							.
									2RC								4R2C2				LC
		Подставляя численные значения, получим:
			1
								1								1							3			3
								1								1							3			3
	p2																			5 10 0,5 10									99
	p2		2 10 10 10 6			4 102 10 10									0,4 10 5					5 10 0,5 10									99
	5 103 4,975 103 25c 1;
			1
			1	1				1								3						3					3			1
	p3										5 10							4,975 10					9,975 10					c			.
	p3		2 10 4		10 8 4		4 10 6				5 10							4,975 10					9,975 10					c			.

	Найдем значения F1 p1							,F1 p2 ,F1								p3 :
						2			1B;
		F1 p1 U0 1 L C 0 U0							1B;
		F1( p2 ) U0 1 L C 25 2 1 0,4 10 5																	625 1,0025B;

F1 p3 U0 1 L C 9,975 103 2 1 4 10 6 99,5 106 399B.

Определим F2 p :

								2															2
F2	p		Lp R L R C p						p L 2L R C						p		2Lp				3L R C p R
					5 2										2	10		5	10.
2 0,4p 3 0,4 10 10						p			10 0,8p 12p							10			10.
																:
		Находим значения F2							p1	,F2		p2	,F2	p3		:

				F2 p1 0,8 0 12 0 10 10,Ом;
							5				2									2
									25			10 20 7,5 10										10 9,925,Ом;
F2		p2 0,8( 25) 12 10							25			10 20 7,5 10										10 9,925,Ом;
F2 p3 0,8( 9,975 103						) 1,2 10 4 9,975 103 2											10 7980 11940 10
3970,Ом.

Подставляя полученные значения в формулу для оригинала, полу-

чим:		1		1,0025		399
i(t )			e0t		e 25t		e 9975t 0,1 0,101e 25t 0,1005e 9975t , A.
	10					3970
			9,925

Таким образом:

i t 0,1 0,1e 25t 0,1e 9975t ,A.

График зависимости i t представлен на рисунке 5.15.

Рис. 5.15. График зависимости i(t)

5.3Расчет переходного процесса методом, основанным на использовании интеграла Дюамеля

Отклик цепи y t на произвольное воздействие x t , являющееся непрерывной функцией времени, можно определить с помощью интеграла Дюамеля:

	t				(5.43)

y(t) x(0) g(t) x			( ) g(t ) d ,
	0
где x(0) – начальное значение воздействия;
	dx t	t		;
	dx t

x	dt
	dt
g(t) переходная функция; g t переходная функция,					в которой t за-

менено на t .

Переходной функцией g(t)является реакция цепи при подключении ее в момент времени t к источнику единичного напряжения или тока, называемого единичной функцией 1t :

0, при t ; 1t

1, приt .

Таким образом, зная отклик цепи g(t)на единичную функцию 1t с помощью интеграла Дюамеля (5.43), можно найти отклик цепи y t на произвольное воздействие x t .

Если воздействующая функция x t имеет различные выражения на разных интервалах времени и имеет или нет скачки, то интервал интегрирования разбивается на отдельные участки, а реакция цепи записывается для отдельных интервалов времени [4]. Например, для функции, изображенной на рисунке 5.16, интервал интегрирования разбивается на три участка.

Рис. 5.16. Входное воздействие сложной формы

На первом участке от 0 до t1(не включая скачок x01) получим:

y t x 0 g t x1 g t d .

На участке от	t1 до t2 (не включая скачок	x02 ) реакция цепи будет
иметь вид:
t1	g t d x01 g t t1		t		g t d .
			x
y t x 0 g t x1			x	2
0			t1
Слагаемое x01 g t t1 обусловлено положительным				скачком входного
воздействия в момент времени t1 .			y t
На третьем участке от t2 до реакция цепи			y t		определяется сле-

дующим образом:

		t1
y t x 0 g t x1 g t d x01 g t t1
		0
t2	g t	t	g t d .

x2		d x02 g t t2 x3
t1		t2
Слагаемое x02 g t t2		обусловлено отрицательным скачком воздействия

в момент времени t3 .

Метод интеграла Дюамеля можно использовать для определения отклика цепи на произвольное воздействие и в случае, когда известна реакция этой цепи на действие единичного импульса тока или напряжения, называемого дельта-функцией. Дельта-функция характеризует собой единичный импульс и определяется следующими равенствами:

0,приt 0;

(t) ,приt 0;0,приt 0.

Реакция цепи на действие дельта-функции t называется импульсной характеристикой h t . Импульсная характеристика связана с переходной функцией g t следующим соотношением:

h t g 0 t d g t . dt

Реакция цепи y t на произвольное воздействие	x t	по известной
импульсной характеристике h t определяется по формуле:
t
y t x h t d .		(5.44)

При расчетах необходимо учитывать основные свойства дельтафункции:

t dt 1;

f t d f t .

5.3.1 Пример расчёта переходного процесса в цепи методом, основанным на использовании интеграла Дюамеля

Определить реакцию цепи, изображенной на рисунке 5.17, в виде тока i1 на воздействие напряжения

Численные значения параметров схемы: R = 10 кОм, L = 5∙10-3 Гн, τ0 = L/R = 5∙10-7 c.

Рис. 5.17. Последовательная LR-цепь

Расчёт Переходная характеристика цепи имеет вид:

	1		R t

g(t)		(1 e L ).
	R

Рассматриваемый интервал разобьем на два: от 0 до τ0 и от τ0 до ∞. В течение промежутка времени 0 ≤ t ≤ τ0 входной ток цепи будет

иметь вид:

i(t) u(0) g(t) u ( ) g(t ) d .

Для t > τ0 входной ток определяется выражением:

0	t

i(t) u(0) g(t) u ( ) g(t ) d u ( ) g(t ) d
0	0

u( 0 ) g(t 0).

Найдем значение величин, входящих в полученные выражения:

u(0) = 1; g(t)	1	(1 e	R t	) 10 4 (1 e 2106 t ), Cм.
			L
	R

0,t 0

	du		6	4 106
u (t)		4 10 e			,0 t 0 .
u (t)	dt	4 10 e			,0 t 0 .
	dt	t
		0,t 0

Функция g(t - τ) имеет вид:

g(t ) 10 4 (1 e 2106 (t ) ).

Подставляя найденные значения в интервалы, определяющие i(t), получим для 0 ≤ t ≤ τ0 :

i(t) 1 10 4 1 e 2106 t 4 106 e 4106 10 4 (1 e 2106 (t )) d

( 10 4 e 4106 2 10 4 e 2106 e 2106 t )

10 4 10 4 е 2106 t

10 4 e 4106 t 2 10 4 3 10 4 e 2106 t ,A.

На втором интервале при t > τ0 имеем:

2106 t

4106

2106 (t )

i(t) 1 10

(1 е

(1 e

) d

) 4 10 e

(2 e 2) 10 4 (1 e 2106 (t 0 )) 10 4 10 4 e 2106 t ( 10 4 e 4106

2 10 4 e 2106 e 2106t ) 0 1,865 (10 4 10 4 e 2106 t e)

2,805 10 4e 2106t , A.

Таким образом, входной ток равен:

	4	e	4106 t			2 10			4	3 10	4	e	2106 t	,A; 0 t 5 10	7	c.
10		e				2 10				3 10		e		,A; 0 t 5 10		c.
i(t )				4			2106 t					7
				4	e		2106 t	,A;t 5 10				7	c.
2,805 10					e			,A;t 5 10					c.

График зависимости i(t) представлен на рисунке 5.18.

Рис. 5.18. График зависимости i(t)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.20151.62 Mб57Паспортные формальности 2012.doc
#
22.03.2016620.54 Кб31ПЗ.doc
#
21.11.201974.24 Кб10по медведеву.doc
#
22.03.2016284.36 Кб32Положение о спартакиаде.pdf
#
14.11.20188.12 Mб5Пособие кур_раб_2211.doc
#
09.02.2015775.79 Кб12Пособие кур_раб_2211.pdf
#
09.02.20152.5 Mб49пособие Вычислительная техника.pdf
#
09.02.2015957.44 Кб17Пособие по Отечеств.doc
#
11.03.2015661.99 Кб27Пособие по химии для студ.ТФ.pdf
#
09.02.2015530.43 Кб104Пособие Шестакова.doc
#
22.03.2016542.34 Кб12Правила приёма в ЮФУ2016.pdf