пособие Вычислительная техника

Этим же правилом удобно пользоваться в случае перевода из деся-

тичной системы исчисления, поскольку её арифметика для нас привычна.

Пример: 999,3510 1111100111,010112 , где:

Вопросы для самопроверки

Используя последние четыре цифры зачётной книжки (исходное число, представленное в десятичной системе), выполните операции:

1.Перевод десятичного числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему исчисления.

2.Умножьте полученное в двоичной системе исчисления число на 1010,1011. Результат представьте в виде десятичного числа.

3.Найдите разность между исходным числом и результатом, получившимся в пункте 2 (порядка выполнения работ), и числом в двоичном виде.

4.Результат действия пункта 3 переведите в десятичное число.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое система исчисления?

2.Типы систем исчисления и перевод чисел из одной системы в другую?

3.Что такое основа позиционной системы исчисления?

4.В чём состоит проблема выбора системы исчисления для представления чисел в памяти компьютера?

5.Какая система исчисления используется для представления чисел в памяти компьютера? Почему?

6.Каким образом осуществляется перевод чисел, если основа новой системы исчисления равняется некоторой степени старой системы исчисления?

7.По какому правилу переводятся числа из десятичной системы исчисления?

21

3. ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Цель главы: изучение основных логических функций и элементов, используемых в вычислительной технике; построение таблиц истинности.

Логическая функция – это функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двоичной логике они могут принимать значения «истина» (true, или 1) либо «ложь» (false, или 0).

Таблица истинности – это таблица, задающая логическую функ-

цию.

Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики. Табличное задание функций встречается не только в логике, но для логических функций таблицы оказались особенно удобными, и с начала XX в. за ними закрепилось это специальное название.

Рассмотрим основные логические операции и таблицы истинно-

сти, соответствующие им:

1) Логическое умножение, или конъюнкция.

Конъюнкция – это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное выражение ложно. Чаще всего конъюнкция обозначается как F = A & B или F = A B , за рубежом имеет значение «AND».

Элемент, соответствующий логическому умножению, обозначается «И» и имеет вид:

Таблица истинности для операции логического умножения, или конъюнкции, примет вид:

22

2) Логическое сложение, или дизъюнкция.

Дизъюнкция – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения ложны. Чаще всего дизъюнкция обозначается как F A B или F A B, за рубежом имеет значение «OR».

Элемент, соответствующий логическому сложению, обозначается «И» и имеет вид:

Таблица истинности для операции логического сложения, или дизъюнкции, примет вид:

3) Логическое отрицание, или инверсия.

Инверсия – это сложное логическое выражение, результат которого обратен входному воздействию, т.е. если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми словами, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО. Чаще всего инверсия обозначается как A, за рубежом имеет значение «NOT».

Элемент цифровых схем, служащий для обозначения отрицания, имеет вид:

Таблица истинности для операции логического отрицания, или инверсии, примет вид:

A A

1 0

0 1

23

4) Логическое следование, или импликация.

Импликация – это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как случая, когда из истины следует ложь. Таким образом, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое (А) является условием, а второе (В) – следствием. Чаще всего импликация обозначается выражением A B.

Таблица истинности для операции логического следования, или импликации, примет вид:

5) Логическая равнозначность, или эквивалентность. Эквивалентность – это сложное логическое выражение, которое

является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность. Чаще всего импликация описывается символом A B.

Таблица истинности для операции логической равнозначности, или эквивалентности, примет вид:

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1)инверсия;

2)конъюнкция;

3)дизъюнкция;

4)импликация;

5)эквивалентность.

Для работы с цифровыми схемами чаще всего используются следующие функции:

1. Сложение по модулю 2 (Исключающее_ИЛИ, Неравнозначность, Инверсия равнозначности).

Чаще всего функция «Исключающее_ИЛИ» обозначается как F A B или за рубежом имеет значение «XOR».

24

Элемент цифровых схем, служащий для обозначения функции «Исключающее_ИЛИ», имеет вид:

Таблица истинности для операции «Исключающее_ИЛИ» примет вид:

2. Инверсия функции конъюнкции «И-НЕ» (штрих Шеффера). Элемент цифровых схем «И-НЕ» обозначается как F A| B, слу-

жит для обозначения функции «И-НЕ» и имеет вид:

Таблица истинности для операции «И-НЕ» примет вид:

3. Инверсия функции конъюнкции «ИЛИ-НЕ» (стрелка Пирса). Элемент цифровых схем, служащий для обозначения функции

«ИЛИ-НЕ», обозначается как F A B и имеет вид:

Таблица истинности для операции «ИЛИ-НЕ» примет вид:

25

Указанные логические операции можно реализовать с помощью контактно-релейных схем и с помощью электронных схем. В настоящее время в подавляющем большинстве устройств применяются электронные логические элементы, причём электронные логические элементы входят в состав микросхем. Имея в распоряжении логические элементы «И», «ИЛИ», «НЕ», можно сконструировать цифровое электронное устройство любой сложности.

Система простых логических функций, на основе которой можно получить любую логическую функцию, называется функционально полной.

Функционально полными являются следующие системы:

1.A A – отрицание (НЕ);

F A B – коньюнкция (И); F A B – дизьюнкция (ИЛИ).

2.A A – отрицание (НЕ);

F A B – коньюнкция (И).

3.A A – отрицание (НЕ);

F A B – дизьюнкция (ИЛИ).

4.F A B– отрицание коньюнкции (И-НЕ).

5.F A B– отрицание дизьюнкции (ИЛИ-НЕ).

Отсюда следует, что для построения логического устройства любой сложности достаточно иметь однотипные логические элементы, например «И», «НЕ» и «ИЛИ».

Логические элементы могут работать в режимах положительной и отрицательной логики. Для электронных логических элементов в режиме положительной логики логической единице соответствует высокий уровень напряжения, а логическому нулю – низкий. В режиме отрицательной логики логической единице соответствует низкий уровень напряжения, а логическому нулю – высокий.

Для контактно-релейных схем в режиме положительной логики логической единице соответствует замкнутый контакт ключа или реле, а логическому нулю – разомкнутый. Светящийся индикатор (лампочка, светодиод) соответствует логической единице, а несветящийся – логическому нулю.

Логические элементы, реализующие для режима положительной логики операцию «И», для режима отрицательной логики выполняют операцию «ИЛИ» и наоборот. Так, например, микросхема, реализующая для положительной логики функции элемента «И-НЕ», будет выполнять для отрицательной логики функции элемента «ИЛИ-НЕ».

26

Как правило, паспортное обозначение логического элемента соответствует функции, реализуемой «положительной логикой». Логические элементы «И» и «ИЛИ», выпускаемые в составе микросхем, обычно имеют 2, 3, 4, 8 входов. В названии элемента первая цифра указывает число входов («2И», «3И», «4И», «8И»).

Вопросы для самопроверки:

1.Построить таблицы истинности для логических элементов

«3И» и «4ИЛИ».

2.Построить таблицы истинности для элементов «2Исключающее_ИЛИ», «3ИЛИ-НЕ» и «3И-НЕ».

3.Собрать схему, представленную на рисунке, и построить для неё таблицу истинности:

Вопросы для самоконтроля

1.Какая система называется функционально полной?

2.Что такое таблица истинности? Приведите примеры.

3.Перечислите основные логические операции?

4.Напишите таблицы истинности для логических элементов «2И», «2ИЛИ», «2Исключающее_ИЛИ».

5.Какой порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении?

27

4.СИНТЕЗ КОМБИНАЦИОННЫХ

ИПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Цель главы: получение комбинационно-цифровых устройств путём минимизации исходной функции методами СДНФ или СКНФ.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – нормальная форма,

вкоторой булева формула имеет вид дизъюнкции нескольких конъюнкций.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

−в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций;

−в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных

букв;

−каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – нормальная форма,

вкоторой булева формула имеет вид конъюнкции нескольких дизъюнкций.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

−в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций;

−в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных

букв;

−каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

Пример нахождения СКНФ

Для того чтобы получить СКНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:

28

В ячейках строки F(X1, X2 ,X3, X4 )отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние нуля. Четвёртый столбец содержит 0 в указанном поле. Отмечаются значения всех четырёх переменных:

– для функции СКНФ:

X1X2 X3X4, X1X2 X3X4, X1X2X3X4, X1X2 X3X4, X1X2 X3X4,

X1X2 X3X4, X1X2 X3X4, X1X2X3X4, X1X2 X3X4, X1X2 X3X4, X1X2 X3X4;

– для функции СДНФ:

X1X2 X3 X4, X1X2 X3 X4, X1X2 X3 X4, X1X2 X3 X4, X1X2 X3X4, X1X2 X3X4 .

Запишем полное выражение СКНФ:

F(X1, X2 , X3, X4 ) (X1 X2 X3 X4 ) (X1 X2 X3 X4 ) (X1 X2 X3 X4 )

(X1 X2 X3 X4 ) (X1 X2 X3 X4 ) (X1 X2 X3 X4 )(X1 X2 X3 X4 ) (X1 X2 X3 X4 ) (X1 X2 X3 X4 )(X1 X2 X3 X4 ) (X1 X2 X3 X4 ).

Вдизъюнкцию записывается переменная без инверсии, если она

внаборе равна 0, и с инверсией, если она равна 1.

При этом полное выражение СДНФ примет вид:

F(X1,X2 , X3, X4 ) (X1X2 X3 X4 ) (X1X2 X3 X4 ) (X1X2 X3 X4 ) (X1X2 X3 X4 )

(X1X2 X3 X4 ) (X1X2 X3 X4 ).

29

Метод Куайна – способ представления функции в ДНФ или КНФ с минимальным количеством членов и минимальным набором переменных.

Преобразование функции можно разделить на два этапа:

на первом этапе осуществляется переход от канонической формы (СДНФ или СКНФ) к так называемой сокращённой форме;

на втором этапе – переход от сокращённой формы к мини-

мальной форме.

Рассмотрим действия на первом этапе представления функции в сокращённой форме.

Предположим, что заданная функция представлена в СДНФ. Для осуществления первого этапа преобразование проходит два действия:

1)операция склеивания;

2)операция поглощения.

Операция склеивания сводится к нахождению пар членов, отличающихся только одним членом выражения. Результаты склеивания играют роль дополнительных членов.

Следующий шаг – операция поглощения. Она основана на равенстве. Вследствие этого действия из логического выражения вычёркиваются все члены, поглощаемые другими переменными, результаты которых получены в операции склеивания. Обе операции первого этапа могут выполнятся до тех пор, пока это может быть осуществимо.

Пример выполнения операции склеивания и поглощения имеет

вид:

X1X2 X3 X1X2 X3 X1X2 (X3 X3 ) X1X2 .

Члены сокращённой формы называются простыми импликантами функции. В итоге мы получили наиболее простое выражение, если сравнивать его с начальной версией – СДНФ.

Второй этап заключается в минимизации полученного выраже-

ния.

Как и на первом этапе, в полученном равенстве могут содержаться члены, устранение которых никаким образом не повлияет на конечный результат. Следующий этап минимизации – удаление таких переменных. Пример представлен в таблице 4.1.

30