5.3.1 Пример расчёта переходного процесса в цепи методом,

основанным на использовании интеграла Дюамеля

Определить реакцию цепи, изображенной на рисунке 5.17, в виде тока i₁ на воздействие напряжения

Численные значения параметров схемы: R = 10 кОм, L = 5·10^-3 Гн, τ₀ = L/R = 5·10^-7 c.

Рис. 5.17. Последовательная LR-цепь

Расчёт

Переходная характеристика цепи имеет вид:

Рассматриваемый интервал разобьем на два: от 0 до τ₀ и от τ₀ до ∞.

В течение промежутка времени 0 ≤ t ≤ τ₀ входной ток цепи будет иметь вид:

Для t > τ₀ входной ток определяется выражением:

Найдем значение величин, входящих в полученные выражения:

u(0) = 1; Cм.

.

Функция g(t - τ) имеет вид:

.

Подставляя найденные значения в интервалы, определяющие i(t), получим для 0 ≤ t ≤ τ₀ :

На втором интервале при t > τ₀ имеем:

Таким образом, входной ток равен:

График зависимости i(t) представлен на рисунке 5.18.

Рис. 5.18. График зависимости i(t)

Таблица 5.6

Численные значения функции I(t)

10-8·t, с	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
10-5 i(t), А	2,141	4,384	6,548	8,539	10,32	8,448	6,917	5,663	4,637	3,796
10-8·t, с	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
10-5 ·i(t), А	3,108	2,545	2,083	1,706	1,397	1,143	0,936	0,766	0,627	0,513

5.4 Примеры расчета однородной двухпроводной линии

без потерь

Пример первый.

Определить частоты, на которых выполняются условия резонанса токов и напряжений для разомкнутого отрезка кабеля без потерь длиной с первичными параметрами,Найти входное сопротивление отрезка кабеля на частоте 100 МГц.

Расчёт

Входное сопротивление разомкнутого отрезка кабеля длиной определяется выражением:

где – волновое сопротивление кабеля;коэффициент фазы.

Модуль будет равен:

Резонанс напряжений для отрезка кабеля наступает на тех частотах, при которых =0. Поэтому условие резонанса напряжений запишется в виде:

.

Величина , поэтому

.

Данное равенство выполняется в тех случаях, когда

где k = 0, 1, 2, 3,… .

Учитывая, что для кабеля без потерь величина определяется выражением

получим:

Откуда найдем частоты резонанса напряжений :

Из полученного выражения видно, что таких частот существует бесчисленное множество, что физически объясняется представлением отрезка кабеля совокупностью бесконечного числа каскадно-соединенных ячеек, состоящих из индуктивностей и емкостей.

Произведем вычисления. Посколькуприведены для отрезка кабеля километровой длины, необходимовыразить в километрах. Получим:

Найдем частоты резонанса токов. При резонансе токов , поэтому

Это условие выполняется в тех случаях, когда

,

где k = 0, 1, 2, 3,… .

Подставляя в данное равенство выражение для , получим:

.

Откуда найдем частоты резонанса токов:

.

Как и частот резонанса напряжений, частот резонанса токов существует бесчисленное множество. Произведем вычисления:

Найдем входное сопротивление кабеля на частоте

Таким образом:

Пример второй.

Определить наименьшую длину короткозамкнутого отрезка кабеля без потерь с первичными параметрами , входное сопротивление которого на частотеэквивалентно индуктивностиL=1 мкГн, если

Расчёт

Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка кабеля длиной равно:

Учитывая, что:

,

и приравнивая к сопротивлению индуктивностиL, получим:

.

Откуда:

Окончательно получим:

.

Произведем вычисления:

Таким образом,