2.4 Твёрдое тело.

Из кинематики известно, что произвольное движение твёрдого тела можно представит в виде

суперпозиции поступательного и вращательного движений

При поступательным движением твердого тела векторы перемещения материальных точек тела одинаковы за любой промежуток времени. Тогда скорости и ускорения точек также одинаковы.

; - для всех точек тела.

Для описания поступательного движения твердого тела

достаточно знать параметры (t), (t), (t) –(радиус –вектор,

скорость и ускорение) и закон движения одной, любой его точки.

Обычно берут точку центра масс. =

Вращательное движение. Уравнение моментов.

Рассмотрим МС, состоящую из множества материальных точек,

жестко связанных между собой (модель твёрдого тела).

Для определённости пусть это диск, которой может свободно

вращаться относительно неподвижной оси, перпендикулярной

к его плоскости и проходящей через центр.

Приложенную к ободу диска силу разложим на две составляющие

. Момент силы относительно центра можно разложить так же на две составляющие

Таким образом, проекция на OO' = 0, а проекция на OO' 0.

Следовательно: - вращения не будет, - вращение будет.

Необходимым и достаточным условием изменения (например, начала вращения) вращательного движения тела относительно неподвижной оси является наличие момента силы относительно этой оси. Наличие приложенной к телу силы необходимое, но не достаточное условие.

Таким образом, параметром состояния системы –твёрдое тело-будет не сила, а момент силы. Найдём уравнение состояния этой системы. Перейдём к полярной системе координат с координатой (t);

Возьмем уравнение 2-го закона Ньютона для одной точки системы-твердое тело: (для i-ой точки). Умножим векторно обе части уравнения Ньютона на

Таким образом, для i-ой точки , получено уравнение состояния, где - момент импульса. Закон в форме - (4) называют уравнением моментов

Упростим уравнение моментов. (умножение двух коллинеарных векторов, Синус угла между ними равен нулю).

Следовательно, в скалярной форме для одной i-ой точки: . Моменты сил (как векторы) могут быть просуммированы по всем точкам тела:

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется сумма произведений масс материальных точек тела на квадрат их расстояний до оси: .

Если нам удастся предварительно найти момент инерции тела- I относительно оси, то уравнение движения твёрдого тела будет описываться одним уравнением: Тогда произвольное движение твердого тела по теореме Эйлера будет описываться системой:

Уравнение моментов в общем случае нужно записать относительно некоторой мгновенной оси, выбор которой весьма непрост. Полученная система уравнений является уравнениями состояния системы «Твёрдое тело». Выясним физический смысл момента инерции, в сравнении с массой тела.

Свойства массы:

1. m-мера инерции тела, свойства сохранять состояние движения .

2. m –мера кинетической энергии .чем больше масса, тем больше энергия тела.

Аналогично, момент инерции является мерой инерции и кинетической энергии при вращении.

1. - то есть при одном и том же моменте силы- M изменение состояния движения будет тем меньше, чем больше I. Следовательно, I – мера инерции во вращательном движении.

2. - чем больше момент инерции, при одной и той же скорости вращения, тем больше энергия. То есть I – мера кинетической энергии.

Примеры нахождения момента инерции: Однородный стержень длины и массы m

Пусть масса единицы длины = .

Обруча радиуса R и массы m.

1. Момент инерции диска, относительно оси,

проходящей через центр масс .

2. Для цилиндра: 5) Для шара:

Теорема Штейнера-Гюйгенса

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела, относительно оси проходящего через центр масс параллельно данной – , плюс произведение массы тела на квадрат расстояние между осями:

Уравнение моментов - дифференциальное уравнение вращательного движения твёрдого тела.

Математически уравнение моментов и уравнение второго закона Ньютона относятся к одному типу дифференциальных уравнений второго порядка и имеют одинаковое по виду решения. Начальные условия: t =0 . Пусть момент силы и момент инерции тела постоянны.

–кинематические уравнения вращательного движения.