1.2. Кинематика движение твердого тела.

Постановка задачи. Пусть механическая система состоит из материальных точек, которые взаимодействуют между собой. Такая система близка к реальному физическому телу. Пусть силы взаимодействия точек столь значительны, что расстояния между ними остаются постоянными. Это соответствует модели абсолютно твердого тела.

Твердое тело – это совокупность материальных точек, расстояние между которыми в процессе движения остается неизменным.

Определим параметры состояния ТТ (твёрдого тела).

Степень свободы твердого тела– число независимых переменных, описывающих состояние данной системы. Чтобы «найти” твердое тело в декартовой системе координат необходимо знать координаты трех его точек, не лежащих на одной прямой. Так как каждая точка имеет три координаты, то 9 координат достаточно, чтобы определить положение твёрдого тела в пространстве. Однако число координат можно сократить, используя свойство неизменности расстояний между выбранными точками. Таким образом, число степеней свободы твёрдого тела в трёхмерном пространстве может сведено к 6 (шести).

1. Поступательным движением твердого тела назовем движение, при котором векторы перемещения материальных точек тела одинаковы за любой промежуток времени. Или любая прямая, проведенная в теле остается параллельна самой себе. Тогда

; - одинаковы для всех точек тела.

Для описания поступательного движения твердого тела

достаточно знать параметры (t), (t), (t) –(радиус –вектор,

скорость и ускорение) и закон движения одной, любой его точки.

2. Вращательное движение. При вращении вокруг неподвижной оси радиус-векторы точек твердого тела, относительно точек отсчета, взятых на оси за любые равные промежутки времени совершают повороты на равные углы.

Если взять в качестве координаты угол поворота ,то любые точки будут иметь равные угловые скорости и угловые ускорения . Очевидно, что линейные скорости точек тела будут при этом зависеть от расстояний до оси вращения т.е. от формы и размеров тела. Соответственно, претерпят изменения такие параметры состояния системы как энергия, импульс. Количественные изменения этих параметров будут обсуждены в Динамике.

Теорема Эйлера о произвольном движении твердого тела.

Произвольное движение твердого тела может быть представлено суммой двух движений: поступательного и вращательного относительно мгновенной оси.

Простые решения задачи о движении твёрдого. тела возможны при поступательном движении и вращении, относительно неподвижной оси или ей параллельной.

Раздел 2. Динамическая теория механических систем.

Основная задача динамики. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Сила. Масса и импульс тела. Второй закон Ньютона- дифференциальное уравнение движения точки. Уравнения динамики колебательного и волнового движений

Твёрдое тело. Момент импульса, момент силы, момент инерции. Уравнение моментов - дифференциальное уравнение движения твёрдого тела.

Кинематика позволяет установить возможные связи между параметрами движения элементов МС и записать общий вид уравнений движения. Конкретный вид уравнений состояния системы возможен только при введении дополнительных параметров, таких как сила, масса, импульс и связей между ними в виде экспериментальных законов. Такая постановка задачи существенно меняет методику исследования поведения МС. Исходя из этого, изменяется и формулировка основной задачи динамики материальной точки: по заданной силе найти закон движения точки (тела) известной массы.

1. Динамика изучает изменения состояния МС (системы материальных тел) вместе с причинами, вызвавшими эти изменения (движения). Состояние МС может состоять не только в нахождении зависимости координат всех её элементов от времени, но и в знании энергетического состояния системы в любой момент времени. Это состояние удобно описывать в фазовом пространстве координат и скоростей (импульсов). Точка этого пространства характеризует состояние системы в данный момент времени.

В основу динамического исследования положены законы Ньютона.

Первый закон динамики: всякое тело движется прямолинейно и равномерно или находится в покое до тех пор и поскольку действие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние движения. Изменение состояния движения можно характеризовать количественно по изменению скорости тела (импульса)

К первому закону необходимо ввести важные дополнительные понятия и параметры:

Сила – количественная мера интенсивности взаимодействия материальных тел. Установлено, что силы взаимодействия возникают всегда парами: они равны по величине, противоположны по направлению и приложены к разным взаимодействующим телам (третий закон Ньютона). В динамике важно знать величину, направление и точку приложение силы, а не её происхождение. Динамические МС могут быть открытыми

Инерция- свойство тела сохранять состояние движения.

Масса- количественная мера инерции. Чем больше масса, тем меньше тело изменяет состояние движения при одинаковом действии со стороны других тел (силе), тем больше её инерция. Импульс . По первому закону действие одного тела на другое проявляет себя в изменении скорости (импульса): (или в деформации).

Второй закон динамики: В качестве количественной меры действия (силы), Ньютон предложил взять скорость изменения импульса тела, на которое производится это действие:

(1)

В общем случае сила может быть функцией координат, скорости и времени, как и импульс тела, который может изменяться также и при изменении массы. Силы делятся по физической природе на:

1. Гравитационные 3. Сильные - внутри атома и ядра

2. Электромагнитные 4. Слабые - между элементарными частицами