Закон сохранения момента импульса

Постановка задачи. Исследуем ту же систему тел и её модель. Расмотрим сложное движение системы как совокупность поступательного и вращательного движений (по Эйлеру).

1. Прямилинейное равномерное движение. Импульс любой точки cистемы постоянеи по величине и направлению, но радиус-вектор

меняется и по величине и по направлению, тогда Модуль

_{вектора момента импульса} , Направление

так как всегда перпендикулярно плоскости перемножаемых векторов. То есть в независимости от изменения радиуса-вектора момент импульса остается постоянным пока действующий момент силы не изменит его.

2) Равномерное движение по окружности - меняется направление импульса и направление радиуса-вектора. Для замкнутой системы доказали выполнение закона сохранения импульса.

: Пусть система вращается относительно неподвижной оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно к её плоскости Уравнение вращательного движения любой точки системы имеет вид -Найдём изменение момента импулься

-может меняться радиус-вектор и вектор импульса точки по направлению. Но момент импульса

Направление относительно центра окружности =const Заметим, что материальная. точка может двигаться по окружности, если на неё дейсвует внешняя сила (например натяжения нити) т. е система не замкнута, но моменты силы натяжения нити и момент центробежной силы инерции относительно оси вращения равны нулю. В такой системе импульс меняется (по направлению),а вектор момента импульса постоянен.

Результаты, полученные для произвольной материальной точки системы, распространим на векторы момента импульса и момента силы Системы.

Выводы. Силы не меняют момент импульса Системы относительно оси, если суммарный момент этих сил, относительно той же оси равен нулю: , если = 0. (моменты сил и моменты импульса берутся относительно одной точки (оси)).

1. Момент импульса мс считается постоянным в замкнутой систем.

2. Если система не замкнута, но существует ось, относительно которой векторная сумма моментов сил равна нулю, то момент импульса системы, относительно этой же оси, остаётся постоянным.

Все особенности для закона сохранения импульса остаются в силе и для закона сохранения момента импульса.

Законы сохранения энергии.

Предварительные замечания. Пусть Механическая система представляет собой некоторое силовое поле и материальные тела, на которые действуют силы поля.

Энергия и работа. Под энергией системы понимают способность её совершить работу.

Работа силы. Элементарная работа силы определяется в механике как: ,

На конечном пути перемещения от до

Работа может быть положительной, отрицательной и равной нулю, измеряется в Джоулях.

Свяжем понятия работы и энергии через второй закон Ньютона. В качестве примера возьмем простейшую МС материальную точку постоянной массы m.

(1)

Не уточняя природу силы, рассмотрим левую часть уравнения (1). Предварительно умножив обе части скалярно на = Проинтегрируем последнее выражение между положениями 1 и 2 траектории движения, в которых скорость принимает значения .

= (2)

Анализ.

1. Правая часть (2) имеет размерность энергии, левая -должна также быть энергией. Это кинетическая энергия тела. Работа силы изменяет кинетическую энергию тела. Если действующая на тело сила равна нулю, то кинетическая энергия сохраняет своё значение. В принципе, это положение следует из закона сохранения импульса. Но…

2. Закон сохранения импульса носит векторный характер, в то время как импульс связан с энергией скалярно (квадрат импульса .

3. ЗСИ выполняется при любых внутренних силах системы. Для кинетической энергии это не очевидно, так как энергия правой части равенства (2) может быть не только механической в общем случае (например, тепловая).

4. Силы (не зависимо от физической природы) могут бать двух типов: силы1-го типа-их работа по перемещению тел зависит от пути (траектории); силы 2-го типа-их работа по перемещению тел НЕ зависит от пути, а только от положения начальной и конечной точек. Последние силы называются потенциальными. Работа потенциальных сил по замкнутому пути равна нулю

.

Правая часть (2), если силы потенциальные, представляет энергию, которая называется потенциальной.

Это энергия силового поля системы, которая реализуется, в частности, в работе над телами системы. По физической природе различают: поле гравитационных сил, поле электромагнитных сил, упругие силы среды, силы трения и т.д.

Для замкнутых систем, если внутренние потенциальные силы являются единственными, то их работа затрачивается только на изменение кинетической энергии тела. То есть, увеличение энергии тел происходит за счёт уменьшение энергии силового поля системы.

Тогда сумма кинетической энергии тела и потенциальной энергии поля остаётся неизменной.

Закон. В замкнутой механической системе, в которой действуют потенциальные (консервативные) силы, сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся постоянной. .

В незамкнутой системе изменение энергии системы равно работе внутренних и внешних сил.

Замечания к законам сохранения.

Сформулированные выше законы сохранения получены на основе классических законов движения, справедливых для инерциальных систем отсчета, которые движутся со скоростями много меньше скорости света.

Для релятивистской системы следует учитывать не только преобразование координат и времени, но и зависимость массы тел от скорости.

1.Закон сохранения массы.

Изменение массы тела:

. (3)

Здесь m₀–масса покоя, v-скорость тела, с-скорость света.

Разложим (3) в ряд (бином Ньютона). Для первых двух членов ряда: = ;

В замкнутой системе сохраняется полная масса тел. = Const.

Этот закон позволяет превращать частицу с меньшей массой покоя в частицу с большей массой.

2.Закон сохранения энергии:

3.Закон сохранения импульсa: = Constant.

4. В законе сохранения момента импульса для элементарных частиц, следует учитывать их собственные моменты импульса (спины).

Для неинерциальных систем. Это системы, движущиеся с ускорением относительно инерциальных.

В них возникают силы инерции, связанные с ускоренным движением системы, наряду с силами, вызванными действием других тел. Силы инерции внешние для тел МС, то есть неинерциальные системы не замкнуты в механическом смысле. Для применения в таких системах законов сохранения следует в моделях ввести (где это возможно) внутренние силы и моменты сил, компенсирующие силы инерции.