Раздел 6. Гравитационное поле

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Параметры гравитационного поля. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. “Черные дыры”. Движение в поле тяготения Земли. Космические скорости.

Приложение 4. Законы Кеплера, гравитационная масса,

принцип эквивалентности

Изучение этого раздела физики связано с понятием новой физической системы «Силовое поле». Дать исчерпывающее определение этой системы, то есть дать описание через составляющие её известные элементы, в рамках классических теорий не представляется возможным. На данном этапе развития познания природы можно лишь описать свойства поля на основе, экспериментально установленных фактов.

Считается, что экспериментальной основой для вывода закона всемирного тяготения, являющегося краеугольным камнем теории гравитационного поля, послужили законы Кеплера. Содержание законов движения планет солнечной системы (три закона Кеплера) и вывод из их сил взаимодействия небесных тел, даны в Приложении 4. По сути законы Кеплера позволяют решить первую задачу динамики: по заданным траекториям движения тел найти действующие на них сил.

К моменту открытия закона всемирного тяготения, Ньютоном уже были сформулированы основные законы механики «земных» тел. Однако не было очевидным, что небесные тела подчиняются тем же законам движения, а различие заключается лишь в особом виде сил взаимодействия. Ньютон назвал эти силы «силами дальнодействия». Он также предположил, что все тела во вселенной испытывают силы притяжения друг к другу. Для точечных тел силы притяжения имеет вид:

э

то закон всемирного тяготения Ньютона: сила взаимодействия двух точечных тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояний между ними.

Особенности:

1) силы тяготения всегда силы притяжения;

2) не зависят от физической (химической пр.) природы тела;

3) в силу малости гравитационной постоянной гравитационные силы имеют значимое значение для больших масс.

4) сравним закон тяготения со вторым законом Ньютона: ,

Одинакова ли масса гравитационная и инерционная? Было показано с точностью

Принцип эквивалентности:

Если есть система, движущаяся с ускорением   и находящаяся в гравитационном поле, то исследователь, находящийся в этой системе, не может определить, какая часть сил обусловлена гравитационными силами , а какая – ускоренным движением системы.

Ньютон не стал давать объяснения физической природы гравитационных сил, назвав их силами дальнодествия. Соврененая теория- это теория полевого взаимодествия материальных тел.

Полевая теория. Любое материальное тело создает вокруг себя поле. Гравитационное поле-это особое состояние материи, обладающее следующими свойствами:

1. Оно непрерывно распределено в пространстве, проникает в другие поля и вещества.

2. Это поле действует с некоторой силой на все тела, помещенные в это поле.Для Мат.точек:

– сила тяготения зависит не только от выбора точки поля (x,y,z) и массы тела, создающего поле ( ,) , но и от массы «пробного» тела (m), что крайне не удобно для характеристики поля..

3) В силу малости гравитационной постоянной гравитационные силы имеют значимое значение для больших масс.

4).Описание движения тел в силовых полях может быть проведено на основе динамических законов, если известны значения сил поля: . Удобнее описыват силовые поля параметрами, зависящими только от выбора координат точек поля. В качестве такой величины обычно выбирают величину, пропорцианальную силе, дейсвующей на единичную массу:

= называют вектором напряженности гравитациооного поля в данной точке.Для точечных масс: G(r) = .= (r)

5) Для тел произволной формы и размеров нахаждение гравитационных сил (напряженности) сводится к интегрированию по обёму (массе).Для одродных тел сферической формы такое интегрирование даёт гравитационное поле идентичное полю тела точечного тела такой же массы, помещённого в центр сферы (для ) [1] . Векторы сил поля (напряженности) напрвлены к единому центру. Это поле цетральное, то есть поле потенциально:

1) Работа сил поля A зависит только от начальной и конечной точки, а не от траектории.

Знак минус т.к. угол между силой и радиус-вектором Тогда

2. Так как работа сил замкнутой системы совершается за счёт уменьшения её энергии,то работа имеет смысл разность потенциальных энергий системы в двух точках поля:

.Таким образом, потенциальная энергия тела обусловлена энергией поля. Введем новую, энергетическую характеристику точек поля Величина –называется разностью потенциалов двух точек гравитационного поля: численно равна работе сил поля по перемещению единичной массы из первой точки во вторую.

Введение напряженности и разности потенциалов являются основными параметрами физической системы, называемой гравитационное поле.

Связь параметров поля.

Исследуем работу сил поля: =m = –

1. Если Тело удаляется, работа совершается против сил поля (притяжения). Работа отрицательна, потенциальная энергия растет.

2. Если . Тела сближаются силами поля, работа положительна, потенциальная энергия уменьшается.

3. Потенциал точки поля. Тогда потенциал произвольной точки поля : – относительно бесконечности: численно равен работе, которую нужно совершить, чтобы единичную массу перенести из данной точки в бесконечность.

4. Для случая точечных тел или сферической формы радиуса R:Для случая ,

, здесь G-напряженность поля вблизи поверхности сферы. Заметим, что потенциал поля на поверности сферы принят равным нулю. Обычная формула для расчёта состояния системы Земля- тело вблизи поверхности.

Энергии гравитационного поля .

Пусть имеем шар массы и радиусом-R. Энергию гравитационного поля шара можно определить как работу по переносу всей массы тела в бесконечность. Так как потенциал поверхности будет меняться с изменением размеров шара (и его массы), то следует переносить массу б.малыми порциями dm. Тогда -текущее значение потенциала поверхности шара. Выразим m(r): dr и можно записать в явном виде: .

Подставляя в выражение для работы: => Таким образом ,

Примеры

1. Считая, что полная энергия электрона равна его гравитационной, получим:

см – совпадает с другими методами вычислений. 2..Применим последнюю формулу к произвольному гравитационному объекту:

= Это гравитационный радиус объекта.

величина оказалась чрезвычайно информативной и важной.

1. Можно оценить гравитационную энергию объекта. (Посчитав плотность энергии, излучаемой Солнцем , учёные пришли к выводу о наличии еще каких- то источников энергии , в частности, энергию термоядерной реакции.

2. Если сравнить истинный радиус планеты и её гравитационный радиус, то при , с планеты нельзя излучать никакие виды энергии ( в том числе и свет). То есть, мы эту планету не увидим. Следовательно, возникает ЧЁРНАЯ ДЫРА.

Движение в поле тяготения Земли. Космические скорости.

Полная механическая энергия тела вблизи поверхности

Земли состоит из энергии кинетической и потенциальной .

W = Здесь ; , где - v,I скорость и момент инерции спутника на орбите соответственно. Тогда W + = Здесь спутника на Земле.

1. Первая космическая скорость

Чтобы спутник покинул Землю и находился на околоземной орбите нужно , чтобы W т.е спутник на орбите радиуса r вращался с определённой угловой скоростью . Другими словами, в неинерциальной системе отсчёта тело будет находиться в равновесии, если сумма сил равна нулю. Сила тяготения Земли должна уравновешиваться центробежной силой инерции: =gr. Преобразуем уравнение для энергий к виду:

- + = - mgr + =-mgr+ км/с

2. Вторая космическая скорость

Сообщаемая телу кинетическая энергия должна быть не менее потенциальной энергии взаимодействия с планетой: – у спутника со второй космической скоростью параболическая траектория. Тело выходит за пределы действия сил тяготения планеты.

3. Третья космическая скорость.

Спутник должен покинуть солнечную систему т.е преодолеть силу притяжения всех планет системы, главным образом Солнца.