Определенный интеграл
.pdf
|
|
|
|
|
b |
|
100 |
|
|
b |
||
|
|
|
|
|||||||||
Р 3e 0,6te 0,12tdt 3 e 0,72tdt |
3 lim |
e 0,72tdt 3 lim ( |
e 0,72t |
|
|
|||||||
|
||||||||||||
0 |
0 |
|
b |
0 |
b 72 |
|
0 |
|||||
|
|
|||||||||||
|
300 |
(e 0,72b 1) |
300 |
4,16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
72 |
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, если начальная стоимость земельного участка 3 тыс. ден.
ед., то конечная стоимость при постоянной процентной ставке 4,16 тыс. ден. ед. 2. Обозначим капитал как функцию времени: K(t), а чистые инвестиции –
I(t). Тогда приращение капитала за период времени от t1 до t2 вычисляется по
t2
формуле: K I(t)dt .
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Заданы чистые инвестиции функцией I(t) 500 |
|
(у.е.). Тогда |
|||||||||||||
t |
|||||||||||||||
приращение |
капитала |
за |
4 |
года |
|
вычисляется: |
|||||||||
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
8000 |
2666,7 (у.е.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
K 500 |
tdt 500 |
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Статические моменты Мх и Му дуги плоской кривой y=f(x), xϵ[a, b], от-
носительно осей Ох и Оу соответственно вычисляются по формулам:
b |
b |
Мх y
1 y'2 dx, М y x
1 y'2 dx. Координаты центра тяжести G(x0, y0) той же
аа
дуги определяются формулой: х0 Му , y0 Мx , s(l) – длина дуги, xϵ[a, b]. s(l) s(l)
Пример 5. Найти статические моменты относительно осей координат от-
резка прямой х у 1, заключенного между осями координат.
3 4
Здесь |
|
х |
), |
|
4 |
, |
|
16 |
|
25 |
, |
|
|
3 |
|
x |
|
5 |
dx 10, |
|
у 4(1 |
у' |
1 у'2 1 |
|
Мх |
|
|
4(1 |
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
9 |
9 |
|
|
|
3 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
35
Мy 0 x3dx 7,5.
61
4. Статические моменты Мх, Му криволинейной трапеции, ограниченной
|
|
|
|
|
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
b |
||
y=f(x), Ох, x=a, х=b, вычисляются: Мх |
|
|
y2dx , Мх |
хydx. Координаты центра |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
а |
||
тяжести G(x , y ) той же трапеции: х |
|
|
Му |
, |
y |
|
|
Мx |
|
, S – площадь трапеции. |
|||||
|
|
S |
|
|
S |
||||||||||
0 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
Пример 6. Найти координаты центра тяжести треугольника, ограниченно-
го х у а,х 0,у 0.
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
1 |
|
2 |
, |
|
1 a |
2 |
|
a3 |
, |
a |
2 |
|
a3 |
, |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
a |
|
Мх |
|
(a x) |
|
dx |
|
М y x(a x) |
|
dx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
6 |
|
6 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
6 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
0 |
|
1 |
a |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
62
ЛИТЕРАТУРА
1. Баврин И.И. Математический анализ для педагогических вузов: Учеб-
ник и практикум/ И. И. Баврин. – М:Юрайт, 2016. – 336 с.
2. Виленкин Н.Я. Математический анализ. Интегральное исчисление /
Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1979. – 177 с.
3.Зорич В.А. Математический анализ: в 2 ч./ В.А. Зорич. – М.: Наука, 1997. – Ч.I. – 568с.
4.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 3 т./ Л.Д. Кудрявцеа.
–М.: Дрофа, 2003. – Т. 1: Дифференциальное и интегральное исчисления функ-
ций одной переменной. – 704 с.
5. Мартынов Н.Н. Высшая математика/ Н.Н. Мартынов, Г.Н. Яковлев ,
Г.Л. Луканкин, Г.А. Шадрин. – М: Высшая школа, 2009. – 584 с.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
ния: в 3 т./ Г.М.Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – Т.1. – 616с.
63
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение................................................................................................................................................. |
3 |
§1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла..................................... |
4 |
§2. Понятие определенного интеграла..................................................................................... |
7 |
§3. Некоторые свойства определенного интеграла......................................................... |
10 |
§4. Формула Нютона-Лейбница............................................................................................... |
12 |
§5. Интегрирование по частям.................................................................................................. |
15 |
§6. Замена переменной в определенном интеграле......................................................... |
18 |
§7. Несобственные интегралы первого рода...................................................................... |
22 |
§8. Несобственные интегралы второго рода...................................................................... |
25 |
§9. Среднее значение функции на отрезке.......................................................................... |
28 |
§10. Геометрическая интерпретация определенного интеграла................................ |
31 |
§11. Площадь криволинейного сектора................................................................................ |
37 |
§12. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией, заданной |
|
параметрически............................................................................................................................... |
39 |
§13. Длина дуги плоской кривой............................................................................................. |
42 |
§14. Объем тела вращения.......................................................................................................... |
47 |
§15. Площадь поверхности вращения................................................................................... |
51 |
§16. Экономическая интерпретация определенного интеграла................................. |
55 |
§17. Путь, пройденный материальной точкой................................................................... |
56 |
§18. Работа переменной силы................................................................................................... |
57 |
Литература....................................................................................................................................... |
63 |
Анна Павловна Филимонова,
доц. кафедры общей математики и информатики АмГУ, канд. физ.-мат. наук
Татьяна Александровна Юрьева,
доц. кафедры общей математики и информатики АмГУ, канд. пед. наук
Определенный интеграл. Учебно-методическое пособие.
Заказ 830.
64