Определенный интеграл

§10. Геометрическая интерпретация определенного интеграла

Краткие теоретические сведения В §1 мы рассмотрели задачу о вычислении площади криволинейной тра-

пеции, то есть фигуры, ограниченной осью Ох, кривой y=f(x), прямыми х=а,

х=b (f(x) – неотрицательная и непре-

рывная функция на [a, b]) (рис. 1).

Площадь криволинейной трапе-

ции численно равна интегралу от дан-

ной функции f(x) по данному отрезку

b

[a, b]: S f (x)dx. В этом и состоит

a

геометрическая интерпретация инте-

b

грала f (x)dx.

a

В частности, криволинейная трапеция может принимать следующий вид

(рис. 2, 3, 4):

Аналогично, фигуру, ограниченную осью Оу, прямыми y=c, y=d и кривой х=φ(у) (φ(у) – неотрицательная и непрерывная на [c, d] функция), также назы-

вается криволинейной трапецией (относительно оси Оу) (рис. 5):

31

d

Площадь этой трапеции S равна: S (y)dy .

c

Если криволинейная трапеция ограничена f(x), где f(x) – неположитель-

ная и непрерывная на [a, b] функция, то площадь S такой трапеции равна:

b

S f (x)dx (рис. 6):

a

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную прямыми х=а, х=b и кривы-

ми у=f1(x) и у=f2(x) (f1(x)≤f2(x)). Функции f1(x) и f2(x) непрерывны на [a, b].

b

Площадь такой фигуры: S ( f2 (x) f1(x))dx (рис. 7):

a

32

Та же формула справедлива и для фигуры ограниченной пря-

мыми y=c, y=d и кривыми х=φ1(у)

и х=φ2(у), где φ1(у)≤φ2(у), φ1 и φ2

– непрерывны на [c, d] (рис. 8):

Пример 1. Вычислить пло-

щадь фигуры, ограниченной кри-

вой y 1 x2 , осью Ох и прямыми

4

х=1, х=4 (рис. 9):

21 5,25 (ед.2).

4

Пример 2. Вычислить пло-

щадь фигуры, ограниченной кривой y 0, y sin x , x [0,2 ] (рис. 10):

В данном случае

2

S sin xdx sin xdx cosx 0

cosx 2 (cos cos0) cos2

cos ( 1 1) 1 ( 1) 4(ед.2 ).

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограничен-

33

Здесь y x2 и y 1 x2 – параболы с вершиной в начале координат, осью

2

Оу и расположенные в верхней полуплоскости относительно оси Ох. Линия y 3x – прямая, проходящая через О(0, 0).

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x 2,

§11. Площадь криволинейного сектора

Краткие теоретические сведения Кривая может быть задана не прямоугольной системе координат, а в по-

лярной.

Криволинейным сектором называют фигуру, ограниченную дугой АВ кривой ρ=f(φ) и радиус-векторами ОА и ОВ, для которых φ=α, φ=β, (α<β) соот-

ветственно (рис. 15):

Площадь криволиней-

ного сектора вычисляется по

формуле: S 1 f ( ) 2 d .

2

Если ρ=f(φ) – непре-

рывная функция, которая принимает при φ=2π то же значение, что и при φ=0, то

кривая будет замкнутой. В этом случае S 1 f ( ) 2 d будет определять вели-

2

чину площади фигуры, ограниченной замкнутой линией.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 3sin ,

3cos .

Здесь 3sin – полярное уравнение окружности

х2 у2 3у , которая имеет центр

задает окружность с центром

37

пересечения окружностей.

Луч ОР разбивает фигуру на два криволинейных сектора, поэтому

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

1 cos .

Здесь линия 1 cos являет-

ся кардиоидой (рис. 17).

Фигура, ограниченная кардио-

идой симметрична относительно оси,

поэтому

38

§12. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией, заданной параметрически

Краткие теоретические сведения Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметри-

окружности круга с радиусом r=1, которая катится без трения и скольжения по прямой Ох.

Здесь (t) t sint, (t) 1 cost , t1=0, t2=2π, '(t) 1 cost , поэтому

Замечание. Циклоида – линия, которая имеет применения в прикладной

технике, теории механизмов.

Задачи для практического занятия Вычислить площади следующих фигур:

2.Фигура ограничена линиями y x2,x 1 0,x 2;

3.Фигура ограничена линиями y x2,x y2 ;

4.Фигура ограничена линиями x 2y2,x 2;

5.Фигура ограничена линиями y x2 2x 3,y 3x 1;

6.Фигура ограничена линиями y 8x 2x2,x 5;

8.Фигура ограничена линиями y ex ,y 0,x 4,x 0;

9.Фигура ограничена линиями y 3 x2 ,y 1;

10.Фигура ограничена линиями y ln x,y 0,x 2,x 4;

11.Фигура ограничена осью Ох, y 1 x2 ,x 2;

12.Фигура ограничена параболой y x2 2x 3, осью Ох;

13.Фигура ограничена осью Оу и линией y2 2x 9;

14.Фигура ограничена осью абсцисс и кривыми y (x 1)2 ,y (x 1)2 ;

15.Фигура ограничена осями координат и линией y x2 4х 3;

16.Фигура ограничена линиями x2 9у 0,x 3у 6 0;

17.Фигура ограничена y 2х х2,y x 0;

18.Фигура ограничена y2 2х,y х2 х;

40