Определенный интеграл

19.Фигура ограничена 2х у 8 0,y 4,х 0;

20.Фигура ограничена y2 2х 1,х у 1 0;

21.Фигура ограничена y х3,y х 2, осью Ох;

22.Фигура ограничена линиями y х2 1,х у 3;

23.Фигура ограничена осью Ох, линиями y 4 х,y (х 1)2 ;

24.Фигура ограничена кривыми y lg х,y 0,х 0,1,x 0;

25.Фигура является сегментом, отсекаемым прямой y х от параболы

yх2 2х;

26.Фигура ограничена гиперболой х2 у2 9 и прямой х 2;

27.Фигура состоит из двух частей, на которые круг х2 у2 8 разделен параболой y2 2х;

28. Фигура ограничена параболой y х2 4х 3 и касательными к ней в

точках (0,-3) и (3,0);

29. Фигура заключена между параболой y х2 2х 2, касательной к ней в точке (3,5) и осью абсцисс;

30. Фигура ограничена эллипсом: x acost,;

y bsint

31. Фигура ограничена астроидой: x cos3 t,;

y sin3 t

32.Фигура ограничена одним лепестком лемнискаты 2 а2 cos2 ;

33.Фигура ограничена полярной осью и первым витком спирали Архи-

меда а (начальное значение φ=0);

34.Фигура ограничена кривой sin2 ;

35.Фигура ограничена петлей кривой x t2 1,

y t3 t.

41

§13. Длина дуги плоской кривой

Краткие теоретические сведения

Пусть y=f(x) имеет непрерывную производную f’(x) на [a, b]. Тогда длина дуги l этой кривой на [a, b] вычисляется по формуле:

Если несамопересекающаяся кривая имеет в полярной системе координат уравнение: ρ=f(φ), α и β – углы точек А и В данной кривой (α<β), f(φ) имеет не-

прерывную производную на [α, β], то длина дуги АВ кривой вычисляется по

формуле: s(l) 2 '2 d .

42

Задачи для практического занятия

1. Найти длину дуги кривой у х2 1, отсеченной осью Ох.

2

2. Вычислить длину дуги цепной линии у 1(ех е х ) на [-1,1].

2

Замечание. Форму цепной линии принимает идеально тонкая, идеально гибкая, нерастяжимая однородная нить, повешенная за концы и находящаяся в состоянии равновесия (рис. 20).

3. Найти длину дуги отрезка

3

полукубической параболы 3у 2х2

от х=0 до х=6.

4. Найти длину дуги кривой

у lnsin x, заключенной между ее

точками с абсциссами х и

3

х 2 соответственно.

3

5. Вычислить длину дуги

кривой х 1 у2 1ln y между точ-

4 2

ками с ординатами у=1, у=е.

10. Найти длину логарифмической спирали еа от начала до 1 .

а

44

21. Найти длину дуги кривой 9у2 x(x 3)2 между точками пересечения с осью Ох.

45

25. Найти периметр фигуры, ограниченной линиями 2sin и

23cos .

46

§14. Объем тела вращения

Краткие теоретические сведения

Пусть дана криволинейная трапеция aАВb, ограниченная прямыми х=a,

х=b, кривой y=f(x), осью Ох; АВ – дуга кривой y=f(x), хϵ[a, b]; f(x) – неотрица-

тельна и непрерывна на [a, b].

В результате вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох по-

лучаем тело вращения (рис. 21)

Объем полученного тела вращения вычисляется по фор-

b b

муле: V f 2 (x)dx y2dx .

a a

Правая часть данной формулы не зависит от знака f(x), поэтому формула справед-

лива и для f(x)≤0 на [a, b].

Если тело получено при вращении криволинейной тра-

пеции cCDd, ограниченной линиями x=0, y=c, y=d, дугой CD кривой х=φ(у) (φ(у) –

неотрицательна и непрерывна [c, d]), то

d d

объем тела равен: V 2 (y)dy x2dy

с c

(рис. 22).

Если вокруг Ох вращается фигура,

ограниченная y=f1(x), y=f2(x) (f2(x)≥f1(x)≥0) и x=a, x=b, то объем тела

Аналогично, при вращении фигуры,

ограниченной х=φ1(у), х=φ2(у) (φ2(у)≥φ1(у)≥0), y=c, y=d, вокруг оси Оу,

получаем тело, объем которого равен:

tϵ[t1,t2], ψ(t) – непрерывна и знакопостоян-

на, φ(t) имеет непрерывную и зна-

тела, образованного вращением во-

круг Оу криволинейной трапеции,

ограниченной Оу, y 1 x2 , y 22 .

2

Имеем x2 2у, с=0, d 22,

поэтому

22

V 2уdу у2 2 2 ((22)2 02 ) 8

0

0

(ед.3).

Пример 2. Найти объем усе-

ченного конуса с радиусами основа-

ний r и R, высотой h (рис. 25).

Данный усеченный конус по-

лучен вращением трапеции ОАВС

48