Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

954 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>


Пример 9. Вычислить e x2		sin xdx.

	sin x является нечетной, тогда			sin xdx 0.
f (x) e x2	sin x является нечетной, тогда		e x2	sin xdx 0.

Задачи для практического занятия Вычислить следующие интегралы:

2			2	arcsin x		1			0	xdx		e	ln x 1
1. 4x3	x2dx; 2.				dx; 3.	ex 3	4 ex	dx ; 4.			; 5.			dx; 6.
				2						2
1		0		1 x		0			1	3 x		1	x
				1			1

1	arctg5x				dx ;	7.
0					dx ;	7.
0		x2	1
2
4						12.
sin				xdx;		12.
0


	xcosx2dx;				8.

	4
e3			dx	;	13.
0			dx

		x 1 ln x
		x 1 ln x

3					5
arctg3xdx;		9.			arcsin4xdx;					10.
0					0

					1		2
4	dx				1	x	2	dx
	dx			;	14.	x		dx	;	15.
	(sin x cosx)		2	;	14.			3	;	15.
0	(sin x cosx)				0	1 x


1			dx		;	11.
0	x2 x 1				;	11.
0	x2 x 1

			3 xdx
2		cos	3 xdx	;		16.
				;		16.
			sin x
6

tgx 3

sin3 xdx ; 17.

dx ; 18.

sin(ln x)

dx ; 19.

cos

xdx

22.

; 23. xln(x2

1)dx; 24.

; 25.

3sin x 4cosx

1 x

xdx

27.

;

28.

; 29.

sin 2x arctg(sin x)dx; 30.

0 1 x

		8			xdx						5
; 20.					xdx				; 21.					25 x2			dx;


		3			1 x						0

8				1						6			x2 sin xdx
8		x 1		1						6			x2 sin xdx
						dx	; 26.												;
												3 5x			2	x		4
															2			4
3		x 1 1

							6
1			dx					.
			dx

			8 2x x				2
	1		8 2x x
2

§7. Несобственные интегралы первого рода

Краткие теоретические сведения Несобственным интегралом первого рода называют интегралы с беско-

нечными пределами интегрирования.

Пусть функция y=f(x) определена на [a, ∞) и интегрируема на любом ко-

нечном отрезке [a, t], где a<t<+∞. Тогда существует интеграл Ф(t) f (x)dx. При

t→+∞ Ф(t) может иметь конечный предел, а может и не иметь предела (стре-

мясь при этом к бесконечности или вообще ни к какому пределу).

Назовем несобственным интегралом первого рода от f(x) на [a, ∞) символ

	f (x)dx lim		f (x)dx.
	t
a		a
	В случае существования конечного предела lim			t	f (x)dx будем говорить,
	В случае существования конечного предела lim				f (x)dx будем говорить,
			t

что несобственный интеграл f (x)dx сходится, в противном случае – расходит-

ся.

В случае расхождения f (x)dx этому интегралу не приписывают никако-

го числового смысла.

Аналогично определяется несобственный интеграл для y=f(x) на (-∞,b],

интегрируемой на любом отрезке [t, b] (–∞<t< b).

	Если	конечный предел lim		b	f (x)dx существует, то по определению
	Если	конечный предел lim			f (x)dx существует, то по определению
			t
				t
b		b	f (x)dx.
	f (x)dx lim		f (x)dx.
	t

Пусть y=f(x) задана в интервале на (-∞,∞). Пусть, далее, с – произвольное

		с
число, а несобственные интегралы f (x)dx и			f (x)dx сходятся. Тогда по опре-
			с
	с
делению	f (x)dx=	f (x)dx+ f (x)dx.
		с

Значение суммы интегралов правой части равенства не зависит от выбора точки с.

Свойства несобственных интегралов первого рода

Сформулируем свойства для интеграла вида

f (x)dx. Для

f (x)dx имеют

место те же свойства, что и для f (x)dx.

Пусть

сходится,

k=const.

Тогда

сходится,

f (x)dx

kf (x)dx

kf (x)dx=k f (x)dx.

Если же

f (x)dx – расходится, то и

kf (x)dx расходится, k≠0.

Пусть

f (x)dx и

(x)dx сходятся,

тогда

(f (x) (х))dx

сходится,

(f (x) (х))dx= f (x)dx+ (x)dx.

3. Если f(x)≥0 на [a, ∞), то f (x)dx≥0.

Пример 1. Исследовать на сходимость

4 х

f (x)

непрерывна на любом отрезке [0,t] (0<t<+∞),

следовательно,

4 х2

интегрируема на нем.

Далее,

Тогда

arctg

(arctg

arctg0)

arctg

4 х

. Отсюда

сходится, причем

lim

lim(

arctg

)

4 х

0 4 х

t 2

2 2

0 4 х

Пример 2. Исследовать на сходимость

е3хdx.

Здесь

(e3t 1),

следовательно,

е3хdx

e3x

e3t

(e3t 1) .

Это означает,

что несобственный интеграл

lim е3хdx lim

е3хdx

t 3

является расходящимся.

Пример 3. Исследовать на сходимость

Имеем:

lim

lim arctgx

х2 1

0 х2 1

х2 1

0 х2

arctg0 lim arctgt lim arctgt arctg0 (

)

Таким образом,

сходится и равен π:

§8. Несобственные интегралы второго рода

Краткие теоретические сведения

Пусть функция y=f(x) определена на [a, b) и интегрируема на каждом [a, b-ε] где (0<ε<b-a). Пусть, далее, f(x) является неограниченной в левосторонней

окрестности точки х= b. В этом случае символом f (x)dx обозначают несоб-

ственный интеграл второго рода от f(x) на [a, b].

			Если lim	b	f (x)dx существует и конечен, то			несобственный интеграл
			Если lim		f (x)dx существует и конечен, то			несобственный интеграл
			0
				a
b	f (x)dx сходится в окрестности точки b, а lim					b		называется его значени-
	f (x)dx сходится в окрестности точки b, а lim						f (x)dx	называется его значени-
					0
a						a
ем:		b	f (x)dx=lim	b	f (x)dx.
ем:			f (x)dx=lim		f (x)dx.
			0
		a		a

В противном случае несобственный интеграл f (x)dx расходится.

Пусть функция y=f(x) определена на (a, b], интегрируема на каждом [a+δ, b] где (0<δ<b-a) и является неограниченной в правосторонней окрестности точ-

ки х=а. Тогда несобственный интеграл второго рода			b	f (x)dx=lim		b	f (x)dx, если
ки х=а. Тогда несобственный интеграл второго рода				f (x)dx=lim			f (x)dx, если
					0
			a			a
	b	f (x)dx существует и конечен. В противном случае		b	f (x)dx – расходится.
lim		f (x)dx существует и конечен. В противном случае			f (x)dx – расходится.
0
	a			a

Пусть с – внутренняя точка [a, b], а y=f(x) является неограниченной в лю-

бой окрестности точки х=с и интегрируема на [a, с-ε], [с+δ, b] (0<ε<с-a; 0<δ<b-

с). Пусть, далее, при ε и δ, которые независимо друг от друга стремятся к нулю,

		с	b
интегралы		f (x)dx и	f (x)dx		стремятся к конечным пределам. Тогда по опре-
		a	с
делению:	b	f (x)dx=lim	с	f (x)dx+lim		b	f (x)dx. В этом случае	b	f (x)dx является схо-
делению:		f (x)dx=lim		f (x)dx+lim			f (x)dx. В этом случае		f (x)dx является схо-
		0			0
	a		a			с		a

дящимся.

с	b
Если хотя бы один из интегралов f (x)dx,	f (x)dx расходится, то будем
a	с

говорить, что несобственный интеграл f (x)dx расходится.

Свойства, которые имеют место для несобственных интегралов первого рода, справедливы для несобственных интегралов второго рода.

			Пример 1. Исследовать на сходимость																							1		dx		.
			Пример 1. Исследовать на сходимость																							0				.
																										0		1 х2
				y							1			при					х=1 имеет бесконечный									разрыв,					но	на каждом	[0,1-ε]

									1 х2
									1 х2
(0<ε<1)											f(x)						непрерывна,					следовательно,										интегрируема.			Тогда
1		dx												10		arcsin(1 ) arcsin0 arcsin(1 ),																			откуда
								arcsinx


	1 х				2
0	1 х
	1				dx																		.
lim					dx						limarcsin(1 ) arcsin1
																						2
				1 х2
0	0			1 х2								0
			Это означает, что несобственный интеграл 1																													dx	является сходящимся
			Это означает, что несобственный интеграл 1																														является сходящимся
																												0			1 х2
							1				dx
и равен											dx						.

											2
							0		1 х					2
																										4		dx
			Пример 2. Исследовать на сходимость																									dx			.
			Пример 2. Исследовать на сходимость																										2		.
																										2 (х 2)
			Здесь									y			1					имеет бесконечный разрыв в точке х=2, но на любом
			Здесь									y	(х 2)2							имеет бесконечный разрыв в точке х=2, но на любом
													(х 2)2
[2+δ,4] непрерывна, следовательно, интегрируема:
				4						dx				4							1	4			1	1	.		Отсюда					следует,	что
				4										4								4
														(х 2) 2 dx
										2				(х 2) 2 dx							x 2
			2					(х 2)						2							x 2	2		2
	4					dx										1		1		) , поэтому несобственный интеграл расходится.
lim						dx						lim(				1		1
lim									2			lim(
0	2 (			х 2)								0				2
																										2

Пример 3. Исследовать на сходимость dx .

1 х

Функция y 1 имеет бесконечный разрыв в точке с=0.

Рассмотрим интегралы

Имеем:

1) limln . Таким образом,

lim

limln

lim(ln ln

х 0

расходится. Аналогично можно показать, что и

является расходящим-

ся. Исходный dx – расходится.

1 х

Замечание. Интеграл dx можно было не рассматривать.

0 х

Задачи для практического занятия Следующие несобственные интегралы первого и второго рода исследо-

вать на сходимость. В случае сходимости интеграла вычислить его значение.

;

cosxdx;

e 4xdx ;

; 5.

;

sin xdx ; 7.

4x 9

;

; 9.

;

10.

; 11.

; 12.

a<b,

a>0; 13.

25 х

х ln x

(х 3)

b х

;

14.

; 15.

xcosxdx ; 16.

; 17.

;

18.

; 19.

sin

1 х

2x 2

e xln

1	dx			0
			; 20.	e2xdx ; 21.
	5

0		х

1	dx			1 x				x
			; 22.	e		dx ; 23.	e		dx; 24.
					2			3
	(1 x)	3
0

x 3dx ; 25.

0 x 2

(x 2)dx .

0 х

			§9. Среднее значение функции на отрезке
				Краткие теоретические сведения
	Пусть функция y=f(x) интегрируема на [a, b].
	Средним значением				этой функции на [a, b]	назовем число
1		b
yср		f (x)dx.
yср	b a	f (x)dx.
		a
	Часто рассматривают				(например, в электротехнике)	среднее значение
			1	b	2
квадрата функции:				f (x) dx. Квадратный корень из этого среднего назы-
квадрата функции:			b a	f (x) dx. Квадратный корень из этого среднего назы-
			b a	a
				a
вают средним квадратичным значением функции на [a, b].
	Пример 1. Найти среднее значение функции y=cos3x на 0,						.
	Пример 1. Найти среднее значение функции y=cos3x на 0,						.
						3


	1		3		3	1
			3
yср				cos3xdx			sin3x
yср				cos3xdx		3	sin3x
						3
		0	0
	3	0	0
	3

1 (sin sin0) 0.

Пример 2. На отрезке PQ длины 4 взята на расстоянии х от Р точка М.

Найти среднее значение площадей прямоугольников, построенных на отрезках РМ и МQ как на сторонах.

Одна сторона прямоугольника РМ=х, другая – МQ=4-х (0≤х≤4). Тогда площадь такого прямоугольника S=x(4-x), следовательно

	1		4								1				4		1			4	2		x2			4		x3	4	16 8				2
	1		4								1				4		1			4	2		x2			4		x3	4	16 8				2
Sср			x(4 x)dx												4 xdx					x		dx								8				(ед.	).
Sср		4	x(4 x)dx										4		4 xdx				4	x		dx		2				12		8	3		3	(ед.	).
			0												0					0						0			0
			0												0					0						0			0
		Пример 3. Определить, при каком значении х0																																выполняется равенство
b																								2x											1		b
f (x)dx f (x0 ) (b a),																	если			f	(x) e				,		a=0,			b=1.		Имеем:			f (x0 )		f (x)dx;
f (x)dx f (x0 ) (b a),																	если			f	(x) e				,		a=0,			b=1.		Имеем:			f (x0 )	b a	f (x)dx;
a																																					a
1					e	2x	1		e	2	1			, b-a=1,						поэтому							х0 находим					из		уравнения, e2x0				e	2	1	,
1						2x	1			2																													2
e2xdx
e2xdx										2																														2
0			2				0			2																														2
0							0
2x0	ln			e2 1				, x0				1		ln		e2 1		.
2x0	ln							, x0						ln				.
			2								2						2
																											28

Пример 4. Пусть t(x) – функция, которая описывает изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от системы освоения произ-

водства, х – порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время tср, за-

траченное на изготовление одного изделия в период освоения от х1 до х2 опре-

			1	x2
деляется формулой: tср				t(x)dx. Найти tср, если х1=50, х2=75,	t(x) 100x
деляется формулой: tср	x	2	x	t(x)dx. Найти tср, если х1=50, х2=75,	t(x) 100x
		2	1	x
				1

(час.).


	1	75	1	х		1	75
							75

						2		75
tср		100х	2dx				8 х
tср	75 50	100х	2dx		1		8 х	50
		50			1
		50		2			50

8(53 52) 40(3 2) 11,2(час.).

						Задачи для практического занятия
1. Найти среднее значение функции на [a, b]:
а)	f (x)	1				, [a, b]=[1, 15]; б) f (x) 3 4cosx, [a, b]=[-π, π]; в)	f (x)		,
		1						х
								х
		x(x 1)
[a, b]=[0, 100]; г)					f (x) cos3 x, [a, b]=[0, π]; д) f (x) 2sin x 3cosx 10, [a, b]=[0,
2π].
						b
2. При каком значении х0 выполняется равенство f (x)dx f (x0 ) (b a); х0
						a
ϵ[a, b]:
а)	f (x) ln x, [a, b]= [1, е2];
б)	f (x)		3	x2 2x, [a, b]= [0, 2].
б)	f (x)			x2 2x, [a, b]= [0, 2].
	4

3. Определить среднюю длину положительных ординат эллипса x2 у2 1 4

при изменении х от -1 до 1.

4. Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от х1=8 до х2=27 изделий, если функция изменения затрат времени

t 20x 3 (час.).

5. Закон изменения напряжения городского переменного тока, имеющего

50 периодов в секунду, дан формулой Е Е0100 t, Е0 – максимальное напряже-

ние, t – время. Найти среднее значение квадрата напряжения за один период

(0,02 сек.).

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
11.08.2022416.26 Кб6Дифференциальные уравнения5.ppt
#
28.06.20221.06 Mб7ИД Ои.pdf
#
28.06.2022286.21 Кб6Лекция 7 Экономические циклы.pdf
#
28.06.2022467.43 Кб1Матан вопросы.docx
#
28.06.2022836.4 Кб11Математический анализ шпаргалка.docx
#
28.06.2022954 Кб4Определенный интеграл.pdf
#
28.06.2022570.37 Кб12Приложение определенного интеграла.ppt
#
28.06.2022364.03 Кб19ряды 1.ppt
#
28.06.2022501.76 Кб2ряды 2.ppt
#
04.10.2022218.11 Кб2Ряды найти интервал сходимости математический анализ амгу.doc
#
28.06.2022649.77 Кб6Ряды.pdf