Тема 5: Шар

О геометрических свойствах шара и его поверхности – сферы – написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно. Эти свойства (вместе с законом естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так расположены в технике шарикоподшипники и так далее. Из всех свойств шара мы рассмотрим самые простые.

Пространственными аналогами окружности и круга на плоскости являются сфера и шар. Шар является телом вращения.

Сферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек пространства, одинаково удаленных от данной точки. Эта точка называется центром сферы. Расстояние от точек сферы до ее центра называется радиусом сферы.

Фигура, ограниченная сферой называется шаром. Радиус сферы называется также радиусом шара.

Шар с центром в точке О и радиусом R представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из всех точек пространства, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее R.

Прямая, соединяющая две точки поверхности шара и проходящая через его центр называется диаметром. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.

Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются.

Площадь сферы радиуса R: S = 4 П R².

Площадь сферического сегмента радиуса R и высотой H: S = 2 П R H.

Объем шара: V = 4/3 П R³.

Учащимся можно предложить следующие задачи.

Задача 1. Диаметр глобуса 0,25м. Вычислить площадь его поверхности.

Задача 2. Сплошной металлический шар перелит в цилиндр, высота которого равна диаметру шара. Каково отношение диаметра основания цилиндра к диаметру шара?

Задача 3. Купол здания имеет форму полушара с диаметром 6м. Что можно сказать о числах, выражающих поверхность полушара и его объем?

Задача 4. В мензурку цилиндрической формы, радиус основания которой 4см, погружен шарик, радиус которого 3см. Насколько поднялась вода в мензурке?

Задачи Архимеда (3 век до н. э.).

Задача 5. На гробнице Архимеда изображены шар и цилиндр, описанный около него (диаметр основания и высота цилиндра равны диаметру шара). Убедиться, что отношение объемов и поверхностей этих тел 3: 2.

Задача 6. Проверить, что объемы трех тел цилиндра (V₁), шара (V₂) и конуса (V₃) с равными диаметрами и высотами, равными этим диаметрам, пропорциональны числам 3: 2: 1 и что V₁= V₂ + V₃.

Задача 7. Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V?

Задача 8. Какой фигурой является множество точек пространства, из которых данный отрезок виден под заданным углом?

Задача 9. Прямая имеет общую точку с шаром, причем эта точка является внутренней точкой шара. Докажите, что эта прямая со сферой этого шара имеет две общие точки.

Задача 10. Найдите длину шестидесятой параллели Земли. Во сколько раз она длиннее такой же параллели на Луне?

Задача 11. Проведите плоскость, которая пересекала бы две планеты: Марс и Нептун по равным кругам. При каком положении этих планет такое возможно? Зависит ли это от размеров планет?

Задача 12.На сколько частей делят апельсин три плоскости, проходящие через его центр, причем так, что они не проходят через один и тот же диаметр апельсина? А если плоскостей четыре?

Задача 13. Шарик катится по желобу, образованному двумя плоскими поверхностями. По какой линии движется его центр?

Задача 14. Какие вам известны доказательства того, что Земля имеет форму шара? (в некотором приближении).

Задача 15. Из каких соображений, по вашему мнению, мяч делают в форме шара?

Задача 16. Что бы вы предпочли: съесть арбуз радиусом 15см вчетвером или радиусом 20см ввосьмером?

Задача 17. Из одной и той же массы мыльной жидкости можно делать пузыри разных размеров. Как меняется их толщина при увеличении их радиуса? Пусть радиус мыльного пузыря увеличился в два раза. Как изменилась его толщина?

Задача 18. Как вычислить радиус металлического шарика, используя линейку и прозрачный цилиндрический сосуд с водой?

Задача 19. Можно ли в какой-нибудь цилиндр объемом 2 поместить шар объемом 1? А два шара объемом 1?

Задача 20. Диаметр Марса составляет половину земного. Во сколько раз поверхность и объем Марса меньше, чем соответствующие величины для Земли?

Диаметр Юпитера в 11 раз больше земного. Во сколько раз Юпитер превышает Марс по поверхности и объему?