Усе

де f – гравітаційна стала, r – відстань від центра маси Землі M до супутника m. Вектор сили взаємодії Землі і супутника, виходячи із закону (2), виразиться так:

Тут r – вектор положення супутника, а його складовими у прийнятій геоцентричній системі - є координати ШСЗ, тобто

x

r y . (4)

z

Прирівнюючи праві частини формул (1) і (3), отримаємо диференціальні рівняння

де fM – гравітаційний параметр Землі. Диференціальні рівняння (5) в координатній формі мають вид

де t – час, с1, с2, с3, с4, с5, с6 – довільні сталі, які визначаються початковими умовами руху. Ними є параметри орбіти ШСЗ x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 на початковий момент t0.

Інтегрування диференціальних рівнянь(5) або (6) виконують різними способами [ ].

Формулами (12), (18) і (23) записані сім перших інтегралів рівнянь незбуреного руху ШСЗ – три інтеграли площ, три інтеграли Лапласа та інтеграл енергії. Вони не можуть бути загальним розв’язком тому, що не містять явно час і не є незалежними.

Існує залежність між інтегралами площ і Лапласа, яка виражається наступним рівнянням:

яке свідчить про ортогональність (перпендикулярність) цих двох векторів. Усі сім сталих зв’язує інше рівняння

Дослідження незбуреного руху. Якщо векторне рівняння інтегралу площ (10) скалярно

яке виявляється рівнянням площини, що проходить через початок координат. В координатній формі воно має такий вид:

Рівняння (26) або (27) показує, що незбурений рух супутника відбувається у незмінній площині, яка визначається тільки початковими умовами задачі і, як наслідок, орбіта ШСЗ є плоскою кривою. Звідси, незбурений рух відбувається у площині, яка перпендикулярна (ортогональна) до вектора площ с. З математики відомо, що положення площини у просторі визначається перпендикулярним (ортогональним) до неї вектором. Таким чином, вектор площ с визначає орієнтацію площини орбіти супутника у просторі.

Тепер на вектор r помножимо скалярно вектор Лапласа (22), зробимо перетворення і отримаємо таке рівняння:

Рівняння (28) або (28 ) описує поверхню, на якій знаходиться супутник під час руху. Ця поверхня є поверхнею другого порядку, утвореною обертанням навколо осі, яка задана вектором f, один з фокусів якої співпадає з початком координат. Це може бути еліпсоїд, параболоїд або гіперболоїд обертання. Розв’язок системи складеної з рівнянь (27) і (28 )

c1x c2 y c3 z 0

(29)

r c 2 f1x f 2 y f3 z 0

геометрично є січення поверхні обертання площиною. В результаті січення виходить плоска крива другого порядку.

Згідно з першим законом Кеплера, незбурена орбіта супутника є плоскою кривою другого порядку, в одному з фокусів якої знаходиться центральне тіло (для штучних супутників Землі центральним тілом є Земля). В залежності від ексцентриситету орбіта супутника може приймати форму однієї з наступних плоских кривих другого порядку:

- момент проходження через перицентр.

П

Рис. 1. Елементи орбіти.

Розміри і форма орбіти задаються великою піввіссю а та ексцентриситетом е орбіти. Орієнтація площини орбіти в просторі визначається довготою висхідного вузла орбіти Ω і кутом нахилу i.

Орбіта супутника перетинає небесний екватор у двох точках. Ці точки називаються вузлами:

-висхідний, в якому супутник перетинає екватор рухаючись з південної півкулі в північну;

-низхідний, в якому ШСЗ перетинає екватор рухаючись з північної півкулі в південну. Довгота висхідного вузла орбіти вимірюється від точки весняного рівнодення по екватору

від 0 до 360 , а кут нахилу і від площини екватора зі сходу на захід через точку півночі від 0

до 180 .

Аргумент перицентру (для ШСЗ - перигею) ω орієнтує велику вісь орбіти (лінію апсид, що з’єднує точки а п о г е ю і п е р и г е ю) в її площині, і вимірюється від точки висхідного вузла по орбіті від 0 до 360 . Апогей є найвіддаленішою точкою орбіти від Землі, а перигей – найближчою.

Положення супутника на орбіті визначається кутовим параметром v - істинною аномалією – кутом між напрямом на перигей і на положення супутника (див. рис. 1).

Пряма, що з’єднує фокуси, тобто лінія апсид, співпадає з напрямком вектора Лапласа, а вектор площ перпендикулярний до площини орбіти (рис. 2).

r

m

Рис. 2. Орбіта ШСЗ із взаємним розміщенням векторів r, c і f.

Рух супутника на орбіті визначається другим і третім законами Кеплера. У другому законі Кеплера зазначається, що за рівні проміжки часу радіус-вектор супутника описує площі рівних секторів. Інакше кажучи, що секторіальна швидкість супутника є стала. Це можна довести, якщо розглядати рух ШСЗ у системі координат O , жорстко скріпленій з площиною орбіти (рис. 3). Дві осі, О і O лежать у площині орбіти, тоді третя O – направлена перпендикулярно до площини орбіти по вектору інтеграла площ с. Вісь О направлена у точку перигею.

Рис. 3. Зв’язок систем координат O і Oxyz.

У вибраній орбітальній системі координат (рис. 3) інтеграли площ отримаємо з виразу

де i , j , k - орти відповідних осей орбітальної системи координат. Розкриваючи визначник і прирівнюючи вирази при однакових ортах, отримаємо

Введемо полярну систему координат у площині орбіти через радіус-вектор r і кут v, і в цій системі координат виразимо інтеграл площ (31). Для цього знайдемо вирази для координат, і складових вектора швидкості , супутника у площині орбіти

Тепер підставимо вирази (32) у формулу (31) для вектора площ і після перетворень отримаємо

що виражає другий закон Кеплера.

Рівняння орбіти в полярних координатах. Розв’язок системи рівнянь (29) є рівнянням орбіти. В орбітальній системі координат система (29) перетворюється у таку:

В залежності від ексцентриситету е плоска крива другого порядку може приймати різну форму і значення інтегралів c, f i h при цьому також змінюються. Дослідимо, які значення

приймає інтеграл енергії V 2 2 r h при різних ексцентриситетах е. Для цього використаємо рівняння зв’язку перших семи інтегралів (25), в якому враховуючи позначення (37), отримаємо

В еліптичному русі 0 e 1, тоді на основі (40) h 0 , і з інтегралу енергії виходить, що

V 2 2 r .

Це означає, що кінетична енергія руху супутника менша за його потенціальну енергію. Для окремого випадку, коли e 0 , із (40) маємо

Таким чином, при параболічному русі кінетична і потенціальна енергії супутника однакові. Для Землі це відбудеться при швидкості супутника то V = 11,2 км/с.

В теорії руху ШСЗ прийнято колову швидкість супутника називати першою космічною швидкістю, а параболічну – другою космічною швидкістю.

При гіперболічному русі e 1 і h 0 , тому

В цьому випадку визначальну роль відіграє кінетична енергія супутника, вона більша від потенціальної енергії.

Динамічний інтеграл. Всі, отримані вище, інтеграли (12), (18) і (23) не можуть бути загальним розв’язком системи диференціальних рівнянь незбуреного руху (6), тому що не містять час у явному виді. Інтеграл, який дає в явному виді залежність положення ШСЗ на орбіті від часу t отримаємо інтегруванням виразу для інтеграла площ (33), підставляючи туди рівняння орбітальної кривої (38), маємо

Інтеграл в лівій частині виразу (45) залежить від того, яке значення приймає ексцентриситет орбіти е.

Оскільки ШСЗ, як правило, має еліптичну орбіту 0 e 1, тому розглянемо тільки цей випадок. Для обчислення інтеграла (45) вводять нову змінну на основі тангенса половинного кута за формулою

Це рівняння називається рівнянням Кеплера. Воно зв’язує допоміжну змінну, якою є ексцентрична аномалія Е, середню аномалію М, момент проходження супутника через перигейі час t.

Згідно з формулою (49) середня аномалія М зростає прямо пропорціонально часові і визначає положення деякого фіктивного супутника, який рухається рівномірно по колу радіуса великої півосі а з періодом T, що дорівнює реальному. Реальний супутник рухається по еліпсу і відповідно з другим законом Кеплера має максимальну швидкість в перигеї і мінімальну в

Таким чином, n – середня кутова швидкість рухомої точки. В небесній механіці її називають середнім рухом.

Підставимо у формулу (51) замість n вираз (48) і після перетворень отримаємо

Ця формула відображає третій закон Кеплера, згідно з яким в еліптичному незбуреному русі відношення квадрата періоду Т обертання супутника по орбіті до куба її великої півосі а є величина стала для даної планети.

Рух ШСЗ за законами Кеплера є найпростішою моделлю орбітального руху супутника і називається кеплерівським або незбуреним рухом. Необхідною умовою виконання законів Кеплера є припущення, що Земля (центральне тіло) і супутник - це матеріальні точки з масами

рівними масам Землі і супутника відповідно. У цьому випадку супутник рухається під дією тільки двох сил - гравітаційного притягання Землі та прискорення супутника.

Зміст роботи

Згідно в зазначеним вище, за модель Землі приймаємо кулю з середнім радіусом R = 6371.1 км і геоцентричною гравітаційною сталою = 398600.5 км3/с2. Ці параметри є вихідними для розв’язування задач.

Задача 1. Побудувати схематично еліптичну орбіту та її проєкцію на небесну сферу за такими параметрами:

-довготою висхідного, вузла орбіти ;

-кутом нахилу орбіти і;

-аргументом перицентру

та показати положення супутника на орбіті коли, відома його істинна аномалія v.

Результатом цієї задачі є схематично побудований рисунок, на якому за даними свого варіанту (параметрами орбіти , і, і v) нанесені параметри орбіти подібно до рис. 1.

Задача 2. Для ШСЗ на коловій орбіті обчислити три з наступних чотирьох величин: радіус орбіти r, період T, лінійну швидкість супутника V, висоту орбіти H, якщо одна з цих величин відома. Виконати обчислення для таких трьох випадків:

а) відома висота орбіти H; б) заданий середній рух n;

в) відомий період орбіти T для випадку, коли ШСЗ має геоcтацioнарну орбіту.

Формули для розв’язку задачі.

Випадок а). Якщо відома висота орбіти H, то можна обчислити радіус колової орбіти r, оскільки відомий радіус R сферичної моделі Землі

За відомим радіусом орбіти отримаємо лінійну швидкість супутника за формулою (42)

V r .

Тут досліджуємо колову орбіту, тобто e 0 , значить велика піввісь а дорівнює радіусу орбіти r, а саме: a r . При такій умові застосуємо третій закон Кеплера

Звідси обчислимо період обертання супутника Т

За результатами обчислень необхідно зробити рисунок, на якому показати: Землю у вигляді сфери і колову орбіту ШСЗ. За одиницю масштабу прийняти радіус Землі R. Одиниця