Загальні відомості

Трикутники на поверхні еліпсоїда, утворені геодезичними лініями, називаються сфероїдними або еліпсоїдними трикутниками.

При створенні астрономо-геодезичних мереж наземними класичними методами, наприклад методом тріангуляції, довжини сторін сфероїдних трикутників зазвичай не перевищують 60км, тобто менші 0.01R, де R – радіус Землі. Проте в місцях зв’язку геодезичних мереж різних країн чи континентів, в космічних геодезичних побудовах віддалі між пунктами – сторони сфероїдних трикутників – можуть сягати сотень, а то й тисяч кілометрів.

Під поняттям розв’язування сфероїдного трикутника розуміють обчислення його невідомих елементів за заданим положенням трикутника на еліпсоїді і відомими: а) кутами трикутника і однією стороною; б) сторонами трикутника.

Сфероїдні трикутники не розв’язуються із використанням елементарних функцій. Проте малі сфероїдні трикутники, сторони яких довжиною до 240км, можна розв’язувати з відносною похибкою 10-8, як трикутники на кулі радіуса R, рівного середньому радіусу кривини еліпсоїда, обчисленому за середньою широтою Bm розміщення трикутника. Якщо розв’язувати ці трикутники за формулами сферичної тригонометрії, то сторони необхідно виражати в частинах радіуса, тоді як в геодезії вони виражаються в лінійній мірі. У зв’язку з цим в геодезичній практиці застосовують два особливих методи розв’язування малих сферичних трикутників: а) метод сферичних надлишків, що використовує теорему Лежандра, запропонований А.Лежандром в 1787 році; б) метод аддитаментів, запропонований І.Зольднером в 1820 році.

Спрямування обох методів одне: замінити розв’язування сферичного трикутника розв’язуванням відповідного плоского трикутника. Реалізується цей задум суттєво різними прийомами в кожному методі. Поправки за кривину кулі при розв’язуванні сферичних трикутників як плоских враховують: а) введенням поправок в сферичні кути зі збереженням довжин сторін у способі Лежандра; б) введенням поправок у довжини сторін зі збереженням величин кутів у способі аддитаментів.

Теорема Лежандра для малих сферичних трикутників звучить так: якщо сторони плоского і сферичного трикутників відповідно рівні, то кути А1,В1,С1 плоского трикутника рівні кутам Асф,Всф,Ссф сферичного, зменшеним на одну третину сферичного надлишку ε:

А.1. Порядок розв’язування малого сфероїдного трикутника за

А.2. Порядок розв’язування малого сфероїдного трикутника за способом адитаментів

Адитамент – це поправка у довжину сторони трикутника, що виражається формулою

Пункти 1, 2, 3, 4 аналогічні, як і у вищенаведеній формулі. 5. Визначити адитамент вихідної сторони

7.Знайти, за теоремою синусів, наближені значення довжин невідомих сторін трикутника