Загальні положення

Геодезичні вимірювання при створенні державних геодезичних мереж виконуються на фізичній поверхні Землі. Зважаючи на складність форми цієї поверхні вся математична обробка проведених вимірювань виконується на поверхні еліпсоїда. В Україні за таку поверхню приймають еліпсоїд Красовського. Наведемо основні величини, які характеризують цей еліпсоїд:

а = 6378245,0 м – велика піввісь еліпсоїда, b = 6356863,0 м – мала піввісь еліпсоїда,

с = 6399698,9 м – полярний радіус кривини, е2 = 0,0066934216 – квадрат першого ексцентриситету еліпсоїда,

е'2 = 0,0067385254 – квадрат другого ексцентриситету еліпсоїда.

Обчислення довжини дуги меридіана.

При застосуванні геодезичної системи координат лініями положення є меридіани і паралелі. Якщо дві точки з відомими геодезичними координатами В1, L1, В2, L2 розташовані на одному меридіані (довготи цих точок є однаковими L1=L2), тоді відстань між ними в градусній мірі буде дорівнювати різниці їх широт. Для отримання відстані між цими точками в метричній мірі застосовують формулу виду

де A, B, C – сталі для вибраного еліпсоїда.

Похибка обчислення дуги меридіана за формулою (2) не перевищує 1 см при довжині дуги до 1000 км. Застосувавши до виразу (1) формулу Сімпсона із розділенням інтервалу інтегрування на дві частини отримаємо наступну формулу для обчислення Sm

Похибка цієї формули не перевищує 2 см при довжині дуги до 1000 км.

Приклад обчислення довжини дуги меридіана.

Вихідні дані: В1 = 56º 42' 34,199", В2 = 58º 31' 00,702".

А = 1,0050518 м, В = 0,00506238 м, С = 0,00001062 м.

Схема обчислень:

Vi 1 e 2 cos2 Bi .

В наведених формулах V – перша функція широти.

Схема обчислень

Обчислення довжини дуги паралелі

Якщо дві точки з відомими геодезичними координатами В1, L1, В2, L2 розташовані на одній паралелі (широти цих точок є однаковими В1= В2), тоді відстань між ними в градусній мірі буде дорівнювати різниці їх довгот. Довжина дуги паралелі є частиною кола, тому обчислюється як добуток радіуса r паралелі з широтою В на різницю довгот l крайніх точок шуканої дуги

де N – радіус кривини першого вертикала.

Приклад обчислення довжини дуги паралелі.

Вихідні дані: В = 56º 42' 34,199",

l=L2 – L1 = 4º 53' 21,882"

Робочі формули:

V 1 e'2 cos2 B .

Схема обчислень

Обчислення довжин сторін і площі трапеції знімання.

Трапеція знімання являє собою обмежену меридіанами і паралелями частину поверхні еліпсоїда. Тому обчислення довжин сторін трапеції зводиться до обчислення довжин дуг меридіанів і паралелей. У зв’язку з тим, що сторони трапеції знімання відносно невеликі, формули для обчислення довжини дуги меридіана значно спрощуються.

На площині в проекції Гауса сторони трапеції масштабу 1:100000 і крупніші зображуються практично прямими лініями. Зазвичай знімання в масштабах від 1:25000 до 1:1000000 виконується з використанням 6-ти градусних зона, а в більш крупному масштабі – з використанням 3-х градусних зон. В цих випадках спотворення довжин рамок трапеції в проекції Гауса малі і ними можна нехтувати.

Робочі формули для обчислення довжин південної а1 і північної а2 рамок трапеції та довжини с' бокової рамки з врахуванням масштабу знімання мають вигляд

де l = L2 - L1 – різниця довгот східної і західної рамок; В1 і В2 – широти південної і північної рамок; Мm – радіус кривини меридіана на широті Вm = (В2 - В1)/2; m – знаменник масштабу знімання; коефіцієнт 100 введений для отримання розмірів рамок в сантиметрах.

Довжина d діагоналі трапеції, яка використовується для контролю графічної побудови трапеції, обчислюється за формулою

da1a2 c'2 .

Всистемі геодезичних координат площа безмежно малої трапеції, обмеженої паралелями з широтами В і В+dB та меридіанами з різницею довгот dL виражається формулою

Інтеграл у правій частині формули (6) не виражається в елементарних функціях. Для отримання більш зручної для обчислень формули підінтегральний вираз розкладають в ряд за степенями e2 і інтегрують почленно. В результаті отримаємо формулу

в якій коефіцієнти А', В', С' є функціями ексцентриситету еліпсоїда. Для еліпсоїда Красовського:

А' = 1,003364, В' = 0,001124, С' = 0,00000170.

При обчисленні площі з точністю до 0,01 км2 в формулі (7) обмежуються першими двома членами, які містять коефіцієнти А' і В'. З відносною похибкою, яка не перевищує 2.10-5, площу трапеції можна обчислити за формулою

де К = 0,163133.

Формула (8) отримана наближеною апроксимацією інтегралу (6) аналітичним виразом, який містить параметр К, та визначенням числового значення цього параметру за відомою площею поверхні еліпсоїда Красовського.

Якщо відома номенклатура трапеції, довжину рамок і площу якої необхідно обчислити, спочатку визначають геодезичні координати В і L її вершин. За першою буквою номенклатури визначають широти південної Вs і північної Bn рамок трапеції (див. табл. 1). Довготи західної і східної рамок трапеції обчислюють у наступній послідовності: для отримання довготи східної рамки спочатку знаходять різницю

цифри після першої букви номенклатури і числа 30, після чого знайдену різницю множать на 6º. Довгота західної рамки буде на 6º меншою від довготи східної рамки. Розміри листа карти масштабу 1:1000000 складають 4º по широті і 6º по довготі.

Таблиця 1.

Від масштабу 1:1000000 переходять до масштабу 1:100000. В листі карти масштабу 1:1000000 розміщені 144 листи карти масштабу 1:100000, які нумеруються цифрами від 1 до 144. Розміри листа карти масштабу 1:100000 складають 20' по широті і 30' по довготі. За номером листа карти масштабу 1:100000 встановлюють координати вершин відповідної трапеції.

Від масштабу 1:100000 переходять до масштабу 1:50000. В листі карти масштабу 1:100000 розміщені 4 листи карти масштабу 1:50000, які нумеруються буквами А, Б, В, Г. Розміри листа карти масштабу 1:500000 складають 10' по широті і 15' по довготі. За буквою листа карти масштабу 1:50000 встановлюють координати вершин відповідної трапеції.

Від масштабу 1:50000 переходять до масштабу 1:25000. В листі карти масштабу 1:50000 розміщені 4 листи карти масштабу 1:25000, які нумеруються буквами а, б, в, г. Розміри листа карти масштабу 1:25000 складають 5' по широті і 7'30" по довготі. За буквою листа карти масштабу 1:25000 встановлюють координати вершин відповідної трапеції.

Від масштабу 1:25000 переходять до масштабу 1:10000. В листі карти масштабу 1:25000 розміщені 4 листи карти масштабу 1:10000, які нумеруються цифрами 1, 2, 3, 4. Розміри листа карти масштабу 1:10000 складають 2'30" по широті і 3'45" по довготі. За цифрою листа карти масштабу 1:10000 встановлюють координати вершин відповідної трапеції.

Номенклатура листів карт для відповідних масштабів записується так: