1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_17_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Учитывая, что S2 является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так:

H0: M(S2) = 02.

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии.

Другими словами, требуется установить, значимо или

незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

21

Теория вероятностей и математическая статистика

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов.

Например, если известна допустимая характеристика

рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная , а найденная по выборке окажется значимо больше ,

то станок требует наладки.

22

Теория вероятностей и математическая статистика

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину 2 = (n - 1) S2 / σ . Эта величина случайная, потому что в разных опытах S2 принимает различные, наперед неизвестные значения.

Можно доказать, что она имеет распределение 2 с k = n — 1 степенями свободы, поэтому обозначим ее через 2.

Итак, критерий проверки нулевой гипотезы,

= (n —1) / .

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

23

Теория вероятностей и математическая статистика

Первый случай.

область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

критических точек распределения (приложение 5).

24

Теория вероятностей и математическая статистика

Тогда:

правосторонняя критическая область определяется неравенством > кр,

область принятия нулевой гипотезы —

неравенством < кр.

25

Теория вероятностей и математическая статистика

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным

проверки нулевой гипотезы.

26

Теория вероятностей и математическая статистика

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу 0: 2 = 02 о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе 1: 2 > 02 , надо вычислить

наблюдаемое значение критерия набл2 = (n —1) 2/ 02 и по таблице критических точек распределения 2 по

заданному уровню значимости и числу степеней

свободы k = n — 1 найти критическую точку ; .

кр

27

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s2 = 14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H0: 2 = 02 = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы H1: 2 > 12.

Решение. Найдем наблюденное значение критерия:

набл2 = (n - 1)S2 /σ = ((13 - 1) 14,6)/12 = 14,6.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид 2 > 12, поэтому критическая область правосторонняя.

28

Теория вероятностей и математическая статистика

По таблице Приложения 5, по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы k = n — 1 = 13 —1 = 12 находим критическую точку кр (0,01; 12) = 26.2.

29

Теория вероятностей и математическая статистика

нулевую гипотезу.

Другими словами, различие между исправленной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12) — незначимое.

30