1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_17_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Однако левых критических точек эта таблица не содержит и поэтому найти F1 непосредственно по таблице невозможно. Однако можно левую

критическую точку и не отыскивать.

Достаточно найти правую критическую точку F2 при уровне значимости, вдвое меньшем заданного.

Тогда не только вероятность попадания критерия в «правую часть» критической области (т. е. правее F2) равна /2, но и вероятность попадания этого

критерия в «левую часть» критической области (т. е. левее F1) также равна /2.

11

Теория вероятностей и математическая статистика

Так как эти события несовместны, то вероятность попадания рассматриваемого критерия во всю двустороннюю критическую область будет равна

/2 + /2 = .

Таким образом, в случае конкурирующей гипотезы H1: D(X) D(Y) достаточно найти критическую точку

F2 = Fкр( /2,k1, k2).

12

Теория вероятностей и математическая статистика

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе

Н1: D(Х) D(Y),

надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е.

набл = б2/м2

и по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора по уровню значимости /2 (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы k1 и k2 (k1 — число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку Fкр = ( /2; k1, k2).

13

Теория вероятностей и математическая статистика

Если Fнабл < Fкр — нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если Fнабл > Fкр — нулевую гипотезу отвергают.

Вопрос: Почему речь не идет о двух критических точках?

14

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n1 = 10 и n2 =18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии

проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: D (X) D (Y).

15

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Fнабл = 1,23/0,41=3.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид D(X) D(Y), поэтому критическая область — двусторонняя.

По таблице, по уровню значимости, вдвое меньшем заданного, т. е. при /2 = 0,1/2 = 0,05, и числам степеней свободы k1 = 10 — 1 = 9, k2 = 18 — 1 = 17 находим критическую точку Fкp(0,05; 9, 17).

16

Теория вероятностей и математическая статистика

Итак, в нашей задаче Fнабл = 3, а Fкр = 2,50.

Поэтому, так как Fнабл > Fкр нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем.

Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются значимо.

Например, если бы рассматриваемые дисперсии характеризовали точность двух методов измерений,

то следует предпочесть тот метод, который имеет меньшую дисперсию (0,41).

18

Теория вероятностей и математическая статистика

15.9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать,

что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению .

предшествующего опыта или теоретически.

19

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S2 с k = n — 1 степенями свободы.

Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу,

состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению .

20