Теория вероятностей и математическая статистика

•Данное распределение вероятностей

кроме того, называют биномиальным распределением, так как вероятности формально могут быть получены как коэффициенты в разложении бинома Ньютона*.

Теория вероятностей и математическая статистика

62

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 4. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью p = 0,60 может произойти событие A. Определить вероятность появления события A не менее трех раз.

63

Теория вероятностей и математическая статистика

•Пример 4. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью p = 0,60 может произойти событие A. Определить вероятность появления события A не менее трех раз.

Решение. Обозначим B — событие, состоящее в появлении события A не менее трех раз в четырех независимых опытах. Тогда вероятность события B определяется как сумма вероятностей появления события A три или четыре раза P(B) = P4(3) + P4(4).

По формуле Бернулли получим решение задачи P(B) = = 4•0,63•0,4 + 0,64 = 0,476.

64

Теория вероятностей и математическая статистика

Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

65

Теория вероятностей и математическая статистика

Можно упростить вычисления, используя теорему Муавра-Лапласа.

66

Теория вероятностей и математическая статистика

•Теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(k) того, что событие А появится в

n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

при х = (k—nр)/.

67

Теория вероятностей и математическая статистика

•Теорема Муавра-Лапласа.

Вероятность Рn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна

где х = (k—nр)/.

68

Теория вероятностей и математическая статистика

•Значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х помещены в приложении 1 учебника.

Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция (х) четна, т. е.

(-х) = (х).

69

Теория вероятностей и математическая статистика

70