Теория вероятностей и математическая статистика

Назовем сложным событием, совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.

51

Теория вероятностей и математическая статистика

Вычислим вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n — k раз.

52

Теория вероятностей и математическая статистика

•При этом не требуется, чтобы событие А

повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: ААА, ААА, ААА, ААА.

Запись ААА означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т. е. наступило противоположное событие ; соответственный смысл имеют и другие записи.

53

Теория вероятностей и математическая статистика

Искомую вероятность обозначим Рn(k).

Например, символ Р5(3) означает вероятность того, что в

пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

54

Теория вероятностей и математическая статистика

Примеры задач, связанных с испытаниями Бернулли

1. Производится n бросаний симметричной монеты на гладкую поверхность стола. При каждом бросании герб (цифра) может появиться с одной и той же вероятностью p = 0,5. Требуется определить вероятность появления герба (цифры) ровно k раз из n бросаний ( k = 0, ..., n ).

55

Теория вероятностей и математическая статистика

Примеры задач, связанных с испытаниями Бернулли

2. Производятся стендовые испытания n однотипных агрегатов на надежность в течение времени t. Вероятность безотказной работы одного агрегата p(t) известна и одинакова для всех агрегатов. Требуется определить вероятность того, что все n агрегатов успешно пройдут стендовые испытания.

56

Теория вероятностей и математическая статистика

Примеры задач, связанных с испытаниями Бернулли

3. Производится стрельба в тире по мишени n выстрелами с индивидуальным прицеливанием при каждом выстреле с одной дистанции. Вероятность попадания в «десятку» для данного стрелка оценивается величиной p. Требуется определить вероятность попадания в «десятку» k раз при n выстрелах (k = 0, ..., n).

57

Теория вероятностей и математическая статистика

Все эти задачи можно решить с помощью формулы Бернулли.

58

Теория вероятностей и математическая статистика

59

Теория вероятностей и математическая статистика

•Бернулли показал, что вероятность появления

события А k раз в n независимых испытаниях определяется выражением

или

где q=1-p, а k = 0, … ,n.

Эту формулу называют формулой Бернулли.

60