Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия)

независимые.

События совместные. Поэтому искомая вероятность определяется по теореме сложения вероятностей совместных событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,7 0,8 = 0,56 .

Отсюда искомая вероятность равна Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94.

31

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание 3. Так как в рассматриваемом примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р = 1 – q1q2.

В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы:

q1=1 - p1 = 1 - 0,7 = 0,3; q2= 1 – р2 = 1 - 0,8 = 0,2 .

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна

Р = 1 - q1q2 = 1 - 0,3 0,2 = 0,94.

32

Теория вероятностей и математическая статистика

4.2. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2,… Вn, которые образуют полную группу.

Пусть известны:

вероятности этих событий P(B1), P(B2), … P(Bn)

условные вероятности РВ1(А), РВ2(А), … РВn(А) события А.

Задача: Как найти вероятность события А?

Ответ дает следующая теорема.

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …,

Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений

вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В1)РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) +...

... + Р(Вn)РВn(А).

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Формула полной вероятности – следствие теорем сложения и умножения вероятностей.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 2. Вертолет-спасатель производит поиск льдины

срыбаками-любителями в заданном районе Финского залива, где по метеонаблюдениям в 60% всех случаев в это время года бывает облачная погода, а в 40% — малооблачная погода. Вероятность обнаружения льдины

срыбаками в малооблачную погоду оценивается вероятностью p1 = 0,90, а в случае облачной погоды —

вероятностью p2 =0,60.

Какова вероятность обнаружения рыбаков с учетом различных погодных условий?

35

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. Обозначим:

A — обнаружение льдины с рыбаками за время поисковой операции вертолета,

B1 — поиск выполнялся в хорошую погоду,

B2 — поиск выполнялся в плохую погоду (в сложных метеоусловиях).

36

Теория вероятностей и математическая статистика

4.3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, ..., Вn,

образующих полную группу. Заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, поэтому их называют гипотезами.

Тогда вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1)РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) +...

... + Р(Вn)РВn(А). (*)

38

Теория вероятностей и математическая статистика

Допустим, что произведено испытание, в результате которого

событие А появилось. Поставим своей задачей определить, как

изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

РА(В1), РА(В2), ..., РА(Вn).

Найдем сначала условную вероятность РА(В1). По теореме умножения имеем

Р(АВ1) = Р(А)РА(В1) = Р(В1)РВ1(А)

39

Теория вероятностей и математическая статистика

•Из равенства Р(АВ1) = Р(А)РА(В1) = Р(В1)РВ1(А) следует :

Заменив Р(А) по формуле полной вероятности (*), получим

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез.

40