Теория вероятностей математическая статистика

Задача• 4.3. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают.

Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?

Решение. Событие А может произойти единственным способом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это обеспечено, поэтому

11

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 4.4. В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

12

Теория вероятностей и математическая статистика

•Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» - противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе - через

Очевидно, Р(А) = 1 - Р().

Найдем Р(). Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из n деталей, равно . Число нестандартных деталей равно n - m; из этого числа деталей можно способами извлечь k нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна

Искомая вероятность события А «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная»:

13

Теория вероятностей математическая статистика

Задача 4.5. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0.4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

14

Теория вероятностей и математическая статистика

•

Задача 4.6. Найти вероятность Р(А) по данным вероятностям:

Р(АВ) = 0,72. Р(А) = 0,18.

16

Теория вероятностей и математическая статистика

•

Задача 4.6. Найти вероятность Р(А) по данным вероятностям:

Р(АВ) = 0,72. Р(А) = 0,18.

Решение. Событие А можно представить в виде суммы следующих двух несовместных событий:

А = АВ + А.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

Р (А) = Р(АВ) + Р(А) = 0,72 + 0,18. = 0.9.

17

Теория вероятностей математическая статистика

Задача 4.7. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события:

А —появление герба на первой монете; В — появление цифры на первой монете; С—появление герба на второй монете; D — появление цифры на второй монете; Е — появление хотя бы одного герба;

F — появление хотя бы одной цифры; G—появление одного герба и одной цифры; H — непоявление ни одного герба;

К — появление двух гербов.

Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) А + С; 2) АС; 3) ЕF; 4) G + Е; 5) GЕ; 6) ВD; 7) Е + К.

18

Теория вероятностей математическая статистика

Задача 4.7. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события:

А —появление герба на первой монете; В — появление цифры на первой монете; С—появление герба на второй монете; D — появление цифры на второй монете; Е — появление хотя бы одного герба;

F — появление хотя бы одной цифры; G—появление одного герба и одной цифры; H — непоявление ни одного герба;

К — появление двух гербов.

Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) А + С; 2) АС; 3) ЕF; 4) G + Е; 5) GЕ; 6) ВD; 7) Е + К.

Ответ: 1) А + С = E; 2) АС = K; 3) ЕF =G; 4) G + Е = E; 5) GЕ = G; 6) ВD = H; 7) Е + К = E.

19

Теория вероятностей и математическая статистика

4. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

4.1. Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Ранее мы рассмотрели теорему сложения для несовместных

событий. Рассмотрим теорему сложения для совместных событий.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А—появление четырех очков при бросании игральной кости; В —появление четного числа очков. События А и В — совместные.

20