Теория вероятностей и математическая статистика
•Таким образом, условная вероятность любой гипотезы Bi (i=1, 2,
…, n) может быть вычислена по формуле
Полученные формулы носят название формул Бейеса (по имени английского математика, который их вывел в 1764 г.) или теорем
гипотез.
Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
41
Теория вероятностей и математическая статистика
42
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 3. В условиях задачи о поиске рыбаков определим условные вероятности РА(B1) и РА(B2) того, что поиск льдины
выполнялся в хорошую или плохую погоду, соответственно, если
считать, что событие А – льдина с рыбаками обнаружена – произошло.
43
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 2. Вертолет-спасатель производит поиск льдины
срыбаками-любителями в заданном районе Финского залива, где по метеонаблюдениям в 60% всех случаев в это время года бывает облачная погода, а в 40% — малооблачная погода. Вероятность обнаружения льдины
срыбаками в малооблачную погоду оценивается вероятностью p1 = 0,90, а в случае облачной погоды —
вероятностью p2 =0,60.
Какова вероятность обнаружения рыбаков с учетом различных погодных условий?
44
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример• 3. В условиях задачи о поиске рыбаков определим
условные вероятности РА(B1) и РА(B2) того, что поиск льдины
выполнялся в хорошую или плохую погоду, соответственно, если считать, что событие А – льдина с рыбаками обнаружена – произошло.
Решение. По формуле Бейеса получим
;
*P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) = 0,40 0,90 + 0,60 0,60 = 0,72.
45
Теория вероятностей и математическая статистика
Как видно, тот факт, что событие A произошло в результате опыта, повлиял на значения вероятностей PА(B1) и PА(B2), которые оказались одинаковыми и
равными 0,50 по сравнению со значениями априорных вероятностей P(B1) = 0,40 и P(B2) = 0,60.
46
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула Бейеса находит широкое применение при создании систем распознавания образов и самообучающихся систем, используемых в робототехнике.
Такие системы способны принимать решение о дальнейшем поведении (робота) — делать выбор из множества альтернативных решений — на основании анализа поступающей информации с последующей переоценкой априорных вероятностей (вычисление и анализ апостериорных вероятностей).
47
Теория вероятностей и математическая статистика
4.4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ
Повторение испытаний связано с задачами, в которых осуществляется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может произойти (или не произойти) некоторое событие A, вероятность которого известна.
Задача: Определить вероятность появления события A ровно k раз в n независимых испытаниях.
48
Теория вероятностей и математическая статистика
4.4.1. Формула Бернулли
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.
В противном случае испытания будут зависимыми.
49
Теория вероятностей и математическая статистика
•
Будем рассматривать лишь такие независимые
испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность р, а вероятность непоявления события A
(появления противоположного события ) равна P() = 1 – p = q.
Такая последовательность испытаний носит название испытания Бернулли.
50