Теория вероятностей и математическая статистика

Если событие А есть попадание точки в область А, соответственно, событие В – попадание в область В, то событие А+В есть попадание в область, заштрихованную на рисунке (а), а событие АВ – в область, заштрихованную на рисунке (б).

Сумма и произведение двух событий А, В.

21

Теория вероятностей и математическая статистика

Сумма и произведение трех событий А, В, С.

22

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть события А и В совместны, причем известны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления.

Как найти вероятность события А+В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А или В?

Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей

совместных событий.

23

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух

совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

24

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух

совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

25

Теория вероятностей и математическая статистика

Справедливость этой формулы наглядно следует из рисунка

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (****)

26

Теория вероятностей и математическая статистика

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

Справедливость этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации

27

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми,

так и зависимыми.

Для независимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В);

Для зависимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)РА(В).

28

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0.

Формула ( * * * * ) для несовместных событий принимает вид

Р(А + В ) = Р(А) + Р(В).

Мы вновь получили теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Таким образом, формула (****) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

29

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1 = 0,7; р2 = 0,8. Найти

вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одного из орудий.

30