Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 4
1 курс. 4 зач.ед.
144 часа (36 час. лекц., 36 час. практич. зан.,
72 час. самост. раб.). Экзамен.
1
Теория вероятностей и математическая статистика
3.4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:
РА(В) = Р(В). (*)
2
Теория вероятностей и математическая статистика
Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что
свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения Р(АВ) = Р(А)РА(В) имеет вид
Р (АВ) = Р(А)Р(В), (*)
т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
3
Теория вероятностей и математическая статистика
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Р (А1А2…Аn) = Р(А1) Р(А2) ... Р(Аn).
4
Теория вероятностей математическая статистика
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ*
*Отдельные задачи, приведенные ниже, могут быть решены и с помощью непосредственного подсчета числа случаев. Здесь показаны решения с
помощью теорем сложения или умножения вероятностей.
5
Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 4.1. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.
6
Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 4.1. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.
Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие А)
Р(А)=1/2.
Вероятность появления герба второй монеты (событие В) Р(В)=1/2.
События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна
Р (АВ) = Р(А)Р(В) = 1/2 1/2=1/4.
7
Теория вероятностей математическая статистика
Задача 4.2. В урне а белых и b черных шаров. Из урны в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.
8
Теория вероятностей математическая статистика
Задача• 4.2. В урне а белых (б) и b черных (ч) шаров. Из урны в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.
Решение. Вероятность события может быть найдена непосредственно. Тот же результат может быть найден и по теоремам сложения и умножения вероятностей:
9
Теория вероятностей математическая статистика
Задача 4.3. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают.
Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?
10