5.2.Меры эффективности на основе шанса и риска
Широко распространены оценки эффективности систем в контексте обеспечения их безопасности на основе исследования рисков. Однако такой подход страдает однобокостью, ибо зачастую не учитывает основные функции систем, приносящие позитивный эффект, который в общем случае так же, как и риск, носит стохастический характер. В этой связи представляется возможным описание системы в виде диаграммы (рис. 2.3).
Оценка эффективности является основой для принятия управленческих решений. Как правило она сопряжена с поиском соотношения между позитивным результатом и затратами на его получение. Попытаемся найти также соотношения с использованием понятий шанса и риска, в связи с чем применим следующие обозначения для элементарной операции системы:
-
польза, извлекаемая в ходе выполнения
элементарной операции;
-
максимально допустимое значение пользы
при выполнении элементарной операции
в рассматриваемом состоянии системы
(превышение этого значения переводит
систему в качественно новое состояние:
монополия, суперэксплуатация и т.п.);
-
нормированная польза;
-
вероятность извлечение пользы величины
v;
-
матожидание пользы при ограничении
;
– дисперсия пользы при ограничении
;
-
среднеквадратичное отклонение пользы;
Сh
– шанс извлечения пользы, где элементарный
шанс в точке v
может быть
определен произведением 
;
– интегральная мера шанса (частенько
для диапазонных оценок, например закона
трех сигм в случае нормального
распределения 
;
-
ущерб,
получающийся в ходе выполнения
элементарной операции;
-
максимально допустимое значение ущерба
при выполнении элементарной операции
в рассматриваемом состоянии системы
(превышение этого значения повлечет
переход системы в качественно иное
состояние: утрата работоспособности,
снижение функциональных возможностей
и т.п.);
-
нормированное значение ущерба;
-
вероятность наступления ущерба величины
u;
-
матожидание ущерба при ограничении
;
– дисперсия ущерба при ограничении
;
-
среднеквадратичное отклонение ущерба;
Risk
– риск наступления ущерба, где элементарный
риск в точке u
может быть найден произведением 
;
– интегральная мера риска при выполнении
операции, где 
определяется аналогично подходам,
описанным для шанса.
Вышеприведенные обозначения представлены для дискретных распределений. Однако непрерывные распределения могут быть также сведены к подобному виду путем их дискретизации [86-87]. В нормированном виде шаг дискретизации составит:
– для
расчета риска 
;
– для
шанса 
;
n- количество дискрет на интервале (0,1) дискретизированных значений ущерба и пользы.
Рис. 2.3. Обобщенная картина распределения шанса и риска в нормированном виде
Примененные
обозначения позволяют качественно
описать картину возникновения шансов
и рисков в виде диаграммы (рис. 2.3). Здесь
огибающие риска и шанса ограничиваются
диагональной асимптотой (умножение
вероятности на 
)
единичных (продукт нормировки) квадратов.
Полученные треугольники могут оказаться
полезными для оценок эффективности с
точки зрения шанса и риска системы (рис.
2.4 и 2.5). В частности площади сегментов
(рис. 2.4 и 2.5) могут охарактеризовать
нам:
-
суммарный риск элементарной операции
в рассматриваемом состоянии;
-
суммарный нереализованный риск
элементарной операции системы в
рассматриваемом состоянии;
-
суммарный шанс элементарной системы в
рассматриваемом состоянии;
-
суммарную неиспользованную выгоду
элементарной операции системы в
рассматриваемом состоянии.
При этом имеют место следующие инварианты:
и 
.
С учетом вышеизложенного в виде соответствующих отношений представляется возможность оценить:
-
коэффициент защищенности;
– коэффициент полезности; (2.1)
– коэффициент эффективности (отношение
шанс/риск).
Выражение (2.1) с помощью вышеприведенных инвариантов можно переписать в следующем виде:
;
.
Представленные площади в первом приближении могут быть вычислены с помощью выражений:
;
,
где
величины этих площадей фактически равны
средним значениям риска 
и
шанса 
на интервале (0,1) нормированных ущербов
и пользы 
.
Отсюда для инженерных расчетов
коэффициенты (2.1) приближенно можно
найти в следующем виде:
;
;
.
Для интегральных оценок эффективности необходимо ввести параметр суммарных затрат Z, обеспечивающих полезность и защищенность системы в рассматриваемом состоянии. При этом будем полагать, что размерность ущерба, пользы и упомянутых затрат представляется возможным привести к неким единым условным единицам. Тогда интегральную эффективность элементарной операции системы в данном состоянии предлагается оценить с помощью следующего выражения:
или в относительных единицах
.
Осуществляя подстановки, имеем:
(2.2)
При
выражение (2.2) может быть преобразовано
к следующему виду:
Отсюда
открывается возможность для диапазонной
оценки эффективности. Полагая, что в
априори 
и 
,
можно найти нижнюю и верхнюю границы
значений эффективности:
;
элементарной операции в рассматриваемом состоянии. Динамику эффективности можно проследить из рис. 2.6 и 2.7.
Рассмотрим методику оценки эффективности в случае выполнения системой серии элементарных операций, в связи с чем введем следующие обозначения:
N- количество элементарных операции в серии;
-
максимально
допустимое количество элементарных
операций системы (до ее модернизации,
ремонта, перехода в качественно иное
состояние и т.п.), характеризующее
жизненный цикл системы в данном состоянии;
-
матожидание количества деструктивных
операций в серии;
-
стартовые затраты на запуск системы в
рассматриваемом состоянии;
-
текущие затраты на реализацию элементарной
операции;
-
приведенные (на элементарную операцию)
стартовые затраты.
Используя выражение (2.2) и полагая, что переменные находятся в единой размерности, сформулируем выражение оценки эффективности для серии элементарных операций:
(2.3)
Из
выражения (2.3) можно получить оценки
эффективности для нижней границы 
,
верхней границы 
и среднего уровня 
эффективности системы при выполнении
N
операций.
В этих случаях имеем:
при 
; (2.4)
при
; (2.5)
при 
(2.6)
Выражения (2.4)-(2.6) являются основой для диапазонной оценки эффективности системы при выполнении N операций.
Однако выражения (2.3)-(2.6) не учитывают возможную динамику и исходят из постоянства матожиданий и дисперсий в ходе реализации серии операций системой. Очевидно, что далеко не всегда такое приближение можно считать корректным. В этой связи, предлагается модернизировать методику, полагая, что каждая новая операция в системе вносит свой вклад в ее статистику и изменяет матожидание и дисперсию процессов. При этом мы оставим за кадром вопрос об изменении закона распределения вероятности, полагаясь на монотонность исследуемых нами процессов. Однако, при достаточно больших N это возможно и этот факт может составить отдельную научную задачу, которая станет предметом самостоятельного исследования в данной области. Сейчас ограничимся учетом динамики числовых характеристик распределения, которую для эффективности опишем следующим выражением:
(2.7)
где
-
матожидание пользы с учетом k-ой
операции системы;
-матожижание
ущерба с учетом s-ой
операции системы.
Для простоты рассуждений в выражении (2.7) не учитываются дисперсии пользы и ущерба. Однако при необходимости (диапазонной оценки) это также несложно сделать, опираясь на выражения (2.4)-(2.6).
Выражение (2.7) обуславливает некоторые алгоритмические формы, которые по своей сути должны содержать по крайней мере две ветви, пополняющих базы данных конструктивных и деструктивных операций, из которых в реальном масштабе времени должны вычисляться матожидание и СКО соответствующих распределений. Блок-схема подобного алгоритма представлена на рис. 2.8. и предусматривает циклический расчет по выражнию (2.7) с перебором от 1 до N.
Следует отметить, что неудовлетворительные значения оценки эффективности могут быть скорректированы в лучшую сторону при реализации следующих процедур (рис. 2.6 и 2.7):
– смещение экстремума огибающей риска к диагональной асимптоте (рис. 2.6);
– смещение экстремума огибающей шанса от диагональной асимптоты (рис. 2.7).
Рис. 2.8. Блок-схема алгоритма оценки (вычисления) эффективности системы при выполнении серии элементарных операций.
.
Рис. 2.9. Обобщенный алгоритм прогнозирования эффективности на основе шанса и риска.
Фактически эти процедуры нацелены на уменьшение значения матожидания риска и на увеличение значения матожидания шанса. При этом управление предполагает некоторые прогностические оценки.
Разумеется данный алгоритм (рис. 2.9) требует детализации в каждом конкретном случае. Однако методический подход останется прежним.