![](/user_photo/_userpic.png)
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Основные положения динамики и уравнения движения точки
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные аксиомы классической механики
- •1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •Частные случаи
- •1.4. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •1.5. Основные виды прямолинейного и криволинейного движения точки
- •1.6. Движение несвободной материальной точки
- •Движение точки по поверхности
- •Движение точки по гладкой кривой линии
- •1.7. Элементы теории колебаний материальной точки
- •Затухающие колебания
- •Свободные колебания
- •Вынужденные колебания
- •2. Относительное движение материальной точки
- •2.1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •2.2. Частные случаи Относительное движение по инерции
- •Относительное равновесие
- •Инерциальные системы отсчета
- •2.3. Движение точки относительно Земли
- •Маятник Фуко
- •Отклонение движущихся тел вправо в Северном полушарии
- •Отклонение падающих тел к востоку
- •2.4. Невесомость
- •3. Геометрия масс
- •3.1. Центр масс
- •3.2. Моменты инерции
- •Моменты инерции относительно точки и оси
- •Моменты инерции относительно осей координат
- •3.3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера))
- •3.4. Моменты инерции простейших однородных тел
- •О z' днородный стержень
- •Прямоугольная пластина
- •Круглый диск
- •Круглый цилиндр
- •3.5. Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку
- •3.6. Эллипсоид инерции
- •3.7. Свойства главных осей инерции
- •4. Общие теоремы динамики точки и системы
- •4.1. Простейшие свойства внутренних сил системы
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения системы
- •4.3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Вычисление количества движения системы
- •Элементарный и полный импульсы силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •4.4. Теорема об изменении кинетического момента
- •Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема Резаля
- •4.5. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении
- •4.6. Потенциальное силовое поле
- •Потенциальное силовое поле и силовая функция
- •Поверхности уровня. Силовые линии
- •Потенциальная энергия
- •Силовая функция и потенциальная энергия системы
- •4.7. Закон сохранения механической энергии Закон сохранения механической энергии точки
- •Закон сохранения механической энергии системы
- •5. Принцип даламбера. Динамические реакции при вращении тела вокруг неподвижной оси
- •5.1. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •5.2. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Формулы для реакций
- •Статическая уравновешенность
- •Динамическая уравновешенность
- •Основные виды неуравновешенностей
- •6. Аналитическая механика
- •6.1. Связи и их классификация
- •6.2. Возможные перемещения
- •6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •6.4. Принцип возможных перемещений
- •6.5. Обобщенные координаты системы
- •6.6. Обобщенные силы
- •6.7. Условия равновесия системы
- •6.8. Общее уравнение динамики
- •6.9. Уравнения Лагранжа
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.7. Элементы теории колебаний материальной точки
Рассмотрим простейшие колебательные движения материальной точки с одной степенью свободы: затухающие, свободные и вынужденные прямолинейные колебания.
Затухающие колебания
П
усть
нужно определить закон колебания груза
,
прикрепленного к пружине (рис. 6) при
следующих предположениях:
– вес пружины значительно меньше веса груза и им можно пренебречь;
–
Рис. 6
– груз движется по прямой, совпадающей с осью пружины;
– груз можно принять за материальную точку;
– сила сопротивления среды, как следует из опытов, при малых скоростях пропорциональна первой степени скорости. Проекция этой силы на ось имеет вид:
,
(21)
где коэффициент пропорциональности определяется из эксперимента.
Для
решения задачи воспользуемся координатным
способом определения движения точки,
направляя ось
вдоль пружины. Для упрощения решения
выберем начало координат в точке, в
которой находится движущаяся точка в
тот момент времени, когда силы упругости
пружины равна весу груза. Эта точка
определяет положение
статического равновесия точки
.
Произведем анализ сил, действующих на
точку
в произвольный момент времени. Кроме
сил тяжести
,
на точку действует сила упругости
пружины
(восстанавливающая сила) и сила
сопротивления среды
,
которая направлена против движения
груза.
Согласно
закону Гука, сила упругости пружины
пропорциональна ее удлинению. Коэффициент
пропорциональности
называется жесткостью
пружины. Удлинение пружины состоит из
статического удлинения
и динамического удлинения
.
Статическое удлинение соответствует
переходу точки в положение так называемого
статического
равновесия
из положения
,
соответствующего нерастянутой пружины.
Проекция силы упругости на ось
равна
. (22)
Дифференциальное уравнение движения точки имеет вид:
,
(23)
где
.
Представим (23) в виде:
,
(24)
где
,
. (25)
Дифференциальное уравнение (24) описывает движение точки в среде с сопротивлением. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории интегрирования таких уравнений, составим характеристическое уравнение
.
(26)
Его корни
.
(27)
Из (27) видно, что возможны три вида корней, а, следовательно, три вида движения точки. Рассмотрим их.
1)
(случай большого сопротивления). Корни
(27) действительные и различные. Общее
решение уравнения (24) имеет вид:
.
(28)
Исследуем
эту функцию. Из (28) следует, что при
,
так как
Найдем экстремум этой функции:
,
,
.
Отсюда
следует, что если
имеют противоположные знаки, то существует
один экстремум, а если одинаковые знаки,
то экстремума нет. Таким образом, графики
этой функции могут быть изображены
кривыми, представленными на рис. 7. В
этом случае движение точки называется
апериодическим.
нет экстремума один максимум один минимум
Рис. 7
2)
(предельный
случай).
Корни
характеристического уравнения
действительные и равны:
.
Общий интеграл находится по формуле:
.
(29)
Здесь, как и в первом случае, движение апериодическое. Точка с течением времени будет стремиться к положению статического равновесия при любых начальных условиях.
3)
(случай малого сопротивления).
Характеристическое уравнение имеет комплексные корни
. (30)
Общее решение уравнения (24) имеет вид:
. (31)
Для
придания соотношению (31) удобного для
исследования вида, положим
,
,
т.е. вместо постоянных
,
введем новые постоянные
и
.
Получим
.
(32)
Постоянные и определяются из начальных условий и называются амплитудой и начальной фазой колебаний точки.
Д
вижение
точки, описываемое уравнением (31) или
(32) называются затухающими
колебаниями.
Графически эти колебания можно
иллюстрировать затухающей синусоидой,
попеременно касающейся кривых
и
(рис.8).
Р
Рис. 8
,
в течение которого точка совершает два
размаха, называется периодом
колебаний. Размахи
колебаний уменьшаются, но отрезки 0-1,
1-2, 2-3, 3-4 и т.д. на оси
будут равными величинами, т.к. период
не зависит от времени и начальных
условий, что будет доказано ниже. Найдем
экстремумы функции (32), приравнивая ее
первую производную к нулю:
.
Отсюда находим:
,
. (33)
Из
(33) следует, что аргументы
,
двух соседних стационарных значений
связаны соотношениями:
или
.
Т.к.
представляет собой время одного размаха
и является при малом сопротивлении
величиной постоянной, то для периода
колебаний получаем формулу:
.
(34)
Отсюда видно, что при увеличении сопротивления период колебаний увеличивается.
Для амплитуд получаются формулы:
,
.
(35)
Из (35) находим:
.
(36)
Из
(36) видно, что величина амплитуд образует
убывающую геометрическую прогрессию
со знаменателем
Величина, обратная
,
т.е.
,
называется декрементом
затухания.
Эта величина характеризует быстроту
затухания колебаний, т.е. быстроту
убывания координаты
со временем. Величина
называется логарифмическим
декрементом затухания.