![](/user_photo/_userpic.png)
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Основные положения динамики и уравнения движения точки
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные аксиомы классической механики
- •1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •Частные случаи
- •1.4. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •1.5. Основные виды прямолинейного и криволинейного движения точки
- •1.6. Движение несвободной материальной точки
- •Движение точки по поверхности
- •Движение точки по гладкой кривой линии
- •1.7. Элементы теории колебаний материальной точки
- •Затухающие колебания
- •Свободные колебания
- •Вынужденные колебания
- •2. Относительное движение материальной точки
- •2.1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •2.2. Частные случаи Относительное движение по инерции
- •Относительное равновесие
- •Инерциальные системы отсчета
- •2.3. Движение точки относительно Земли
- •Маятник Фуко
- •Отклонение движущихся тел вправо в Северном полушарии
- •Отклонение падающих тел к востоку
- •2.4. Невесомость
- •3. Геометрия масс
- •3.1. Центр масс
- •3.2. Моменты инерции
- •Моменты инерции относительно точки и оси
- •Моменты инерции относительно осей координат
- •3.3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера))
- •3.4. Моменты инерции простейших однородных тел
- •О z' днородный стержень
- •Прямоугольная пластина
- •Круглый диск
- •Круглый цилиндр
- •3.5. Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку
- •3.6. Эллипсоид инерции
- •3.7. Свойства главных осей инерции
- •4. Общие теоремы динамики точки и системы
- •4.1. Простейшие свойства внутренних сил системы
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения системы
- •4.3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Вычисление количества движения системы
- •Элементарный и полный импульсы силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •4.4. Теорема об изменении кинетического момента
- •Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема Резаля
- •4.5. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении
- •4.6. Потенциальное силовое поле
- •Потенциальное силовое поле и силовая функция
- •Поверхности уровня. Силовые линии
- •Потенциальная энергия
- •Силовая функция и потенциальная энергия системы
- •4.7. Закон сохранения механической энергии Закон сохранения механической энергии точки
- •Закон сохранения механической энергии системы
- •5. Принцип даламбера. Динамические реакции при вращении тела вокруг неподвижной оси
- •5.1. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •5.2. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Формулы для реакций
- •Статическая уравновешенность
- •Динамическая уравновешенность
- •Основные виды неуравновешенностей
- •6. Аналитическая механика
- •6.1. Связи и их классификация
- •6.2. Возможные перемещения
- •6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •6.4. Принцип возможных перемещений
- •6.5. Обобщенные координаты системы
- •6.6. Обобщенные силы
- •6.7. Условия равновесия системы
- •6.8. Общее уравнение динамики
- •6.9. Уравнения Лагранжа
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
Рассмотрим относительное движение системы только относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс системы.
Прежде чем рассмотреть теорему, выведем формулу для вычисления кинетического момента системы.
Ф
Рис. 41
ормула
для кинетического момента системы.
Пусть механическая система совершает
движение относительно основной системы
координат
.
Возьмем подвижную систему координат
с началом в центре масс системы
,
движущуюся поступательно относительно
основной системы координат. Из рис. 41
следует, что для любого момента времени
.
Дифференцируя это тождество по времени, получаем
или
,
где
– абсолютная скорость точки
;
– абсолютная скорость центра масс;
– относительная скорость точки
относительно подвижной системы координат
.
При поступательном движении подвижной
системы координат ее угловая скорость
равна нулю и по формуле Бура полная
производная по времени от радиуса-вектора
совпадает с локальной производной,
равной относительной скорости.
Согласно определению кинетического момента относительно неподвижной точки , для абсолютного движения системы относительно системы координат по формуле (105) имеем
.
Подставляя
в эту формулу значения
и
после небольших преобразований получаем
. (113)
В
этой формуле
– масса системы. Кроме того, последние
два слагаемых равны нулю. Действительно,
по определению радиуса-вектора центра
масс относительно этого центра масс
имеем
.
Следовательно,
и последнее слагаемое в (113) тоже равно
нулю.
Другое слагаемое можно предварительно преобразовать:
.
Это слагаемое также равно нулю, так как все время . Формула (113) принимает следующий окончательный вид:
, (114)
где
.
Величина
является кинетическим моментом системы
относительно центра масс для относительного
движения относительно системы координат,
движущейся поступательно вместе с
центром масс, т. е. системы координат
.
Формула (114) показывает, что кинетический момент абсолютного движения системы относительно неподвижной точки равен векторной сумме кинетического момента центра масс относительно той же точки, если бы в центре масс была сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движение системы по отношению к подвижной системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс.
Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс. Для абсолютного движения системы и неподвижной точки теорема об изменении кинетического момента имеет вид
.
Подставляя сюда значения и по формуле (114) и производя дифференцирование и группировку членов, получаем
Перенося из правой части в левую первое слагаемое и учитывая, что
,
после объединения слагаемых имеем
.
В этой формуле выражение в квадратных скобках равно нулю на основании теоремы о движении центра масс системы (113) и, следовательно, формула примет вид
или
, (115)
где
является главным моментом всех внешних
сил относительно центра масс.
Формула (115) и выражает рассматриваемую теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс; она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.
Эту теорему применяют для изучения вращательной части плоского движения и движения свободного твердого тела вокруг центра масс.