![](/user_photo/_userpic.png)
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Основные положения динамики и уравнения движения точки
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные аксиомы классической механики
- •1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •Частные случаи
- •1.4. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •1.5. Основные виды прямолинейного и криволинейного движения точки
- •1.6. Движение несвободной материальной точки
- •Движение точки по поверхности
- •Движение точки по гладкой кривой линии
- •1.7. Элементы теории колебаний материальной точки
- •Затухающие колебания
- •Свободные колебания
- •Вынужденные колебания
- •2. Относительное движение материальной точки
- •2.1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •2.2. Частные случаи Относительное движение по инерции
- •Относительное равновесие
- •Инерциальные системы отсчета
- •2.3. Движение точки относительно Земли
- •Маятник Фуко
- •Отклонение движущихся тел вправо в Северном полушарии
- •Отклонение падающих тел к востоку
- •2.4. Невесомость
- •3. Геометрия масс
- •3.1. Центр масс
- •3.2. Моменты инерции
- •Моменты инерции относительно точки и оси
- •Моменты инерции относительно осей координат
- •3.3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера))
- •3.4. Моменты инерции простейших однородных тел
- •О z' днородный стержень
- •Прямоугольная пластина
- •Круглый диск
- •Круглый цилиндр
- •3.5. Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку
- •3.6. Эллипсоид инерции
- •3.7. Свойства главных осей инерции
- •4. Общие теоремы динамики точки и системы
- •4.1. Простейшие свойства внутренних сил системы
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения системы
- •4.3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Вычисление количества движения системы
- •Элементарный и полный импульсы силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •4.4. Теорема об изменении кинетического момента
- •Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема Резаля
- •4.5. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении
- •4.6. Потенциальное силовое поле
- •Потенциальное силовое поле и силовая функция
- •Поверхности уровня. Силовые линии
- •Потенциальная энергия
- •Силовая функция и потенциальная энергия системы
- •4.7. Закон сохранения механической энергии Закон сохранения механической энергии точки
- •Закон сохранения механической энергии системы
- •5. Принцип даламбера. Динамические реакции при вращении тела вокруг неподвижной оси
- •5.1. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •5.2. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Формулы для реакций
- •Статическая уравновешенность
- •Динамическая уравновешенность
- •Основные виды неуравновешенностей
- •6. Аналитическая механика
- •6.1. Связи и их классификация
- •6.2. Возможные перемещения
- •6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •6.4. Принцип возможных перемещений
- •6.5. Обобщенные координаты системы
- •6.6. Обобщенные силы
- •6.7. Условия равновесия системы
- •6.8. Общее уравнение динамики
- •6.9. Уравнения Лагранжа
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3. Геометрия масс
3.1. Центр масс
П
Рис. 13
Рис. 17
,
радиусы-векторы которых
,
проведенные из одной и той же точки
,
(рис. 17), то центром масс называется
геометрическая точка
,
радиус-вектор которой
определяется выражением
, (59)
где
– масса системы. Обозначая декартовы
координаты материальных точек
,…,
,
из (59) проецированием на декартовы оси
координат получим следующие формулы
для координат центра масс:
,
,
.
(59')
Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы, как, например, в случае кольца. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.
Векторная
величина
называется статическим
.моментом массы относительно точки О.
Скалярная величина
называется статическим
моментом массы относительно координатной
плоскости
.
Величины
и
являются соответственно статическими
моментами массы относительно координатных
плоскостей
и
.
Радиус-вектор и координаты центра масс через статические моменты массы выражаются формулами
,
,
,
.
Если
механическая система представляет
собой сплошное тело, то его разбивают
на элементарные частицы с бесконечно
малыми массами
и с изменяющимися от частицы к частице
радиусом-вектором
.
Суммы в пределе переходят в интегралы. Формулы (59) и (59') принимают форму:
, (60)
,
,
, (60')
где
– масса тела.
Для
однородных сплошных тел
,
,
где
– плотность тела, общая для всех
элементарных частиц,
– объем элементарной частицы,
– объем тела.
Для
тел типа тонкого листа, которые можно
принять за однородные материальные
поверхности,
,
,
где
– поверхностная плотность,
– площадь поверхности элементарной
частицы;
– площадь поверхности.
Для
тонкой проволоки, которую можно принять
за отрезок линии,
,
,
где
– линейная плотность,
– длина элемента линии;
– длина отрезка линии.
В этих случаях определение центра масс тел сводится к вычислению центра масс объемов, площадей и длин линий соответственно.
3.2. Моменты инерции
Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.
Моменты инерции относительно точки и оси
М
оментом
инерции механической системы, состоящей
из
материальных точек, относительно точки
называется сумма произведений масс
этих точек на квадраты их расстояний
до точки
(рис. 18), т. е.
. (61)
М
Рис. 18
, (61')
где
– масса элементарной частицы тела (в
пределе точка);
– ее расстояние до точки
.
Моментом
инерции
системы материальных точек относительно
оси
называется сумма произведений масс
этих точек на квадраты их расстояний
до оси
(рис. 18):
. (62)
В частном случае сплошного тела сумму следует заменить интегралом:
, (62')
Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга. Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции. Радиус инерции , относительно оси определяется но формуле
, (63)
где – масса тела.
Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой оси определяется выражением
, (63')
В справочниках но моментам инерции приводят таблицы значений радиусов инерции различных тел.
Формула (63') позволяет считать радиус инерции тела относительно оси расстоянием от этой оси до такой точки, в которой следует поместить массу тела, чтобы ее момент инерции оказался равным моменту инерции тела относительно рассматриваемой оси.
Моменты
инерции относительно оси и точки имею
одинаковую размерность – произведение
массы на квадрат длины
.
Кроме моментов инерции относительно точки и оси используются также моменты инерции относительно плоскостей и центробежные моменты инерции. Эти моменты инерции удобно рассмотреть относительно координатных плоскостей и осей декартовой системы координат.