1.5. Интегрирование по частям.

Пусть и две дифференцируемые функции. Найдём дифференциал от их произведения: , или, что тоже самое, . Проинтегрируем полученное равенство:

. (1.2)

Формула (1.2) называется формулой интегрирования по частям, она применяется, в основном, если под знаком интеграла находится произведение многочлена на одну из функций , , , , , , , , . Причем, для получения положительного результата нужно руководствоваться следующим правилом выбора функции и дифференциала :

; . (1.3)

Пример 6. Вычислить интеграл .

Согласно правилу (1.3) : =

Пример 7.

Иногда применение формулы (1.2) позволяет выразить искомый интеграл через самого себя, тогда в процессе решения имеем уравнение относительно этого интеграла, решая которое, получаем ответ к примеру.

Пример 8.

=

, то есть:

,

откуда находим +С.

2. Определенный интеграл

2.1. Понятие определенного интеграла

Предположим, что на отрезке задана непрерывная функция . Разобьем отрезок на n частей точками деления , при условии . В каждом из отрезков , … возьмем по точке, которые обозначим , ,..., , и вычислим в них значения функции , ,…, . Составим сумму, которая называется интегральной суммой для функции на отрезке :

,

где , .

Определение. Если при любых разбиениях отрезка точками , такими что , и при любом выборе точек на отрезках , , интегральная сумма стремиться к одному и тому же пределу (числу), то этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается , т.е.

. (2.1)

Число называется нижним пределом интегрирования, – верхним пределом.

Замечание. Доказано, что в наших предположениях о непрерывности функции на отрезке предел в левой части формулы (2.1) существует, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке существует.

2.2. Основные свойства определенного интеграла

1) Определенный интеграл не зависит от переменной: ;

2) ; 3) ; 4) ;

5) Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций: ;

6) Для любого : ;

7) Для четных (нечетных) функций

2.3. Вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла пользуются формулой Ньютона-Лейбница:

, (2.2)

где – непрерывная на функция, – любая из первообразных .

Пример 9.

.

Пример 10. .

2.4. Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенного интеграла требуется вычислять первообразную функции , а если интеграл не указан среди табличных, то, как и в неопределенном интеграле, применяется замена переменной. Следует обратить внимание на то, что замена затрагивает пределы интегрирования, т.е. если , то при замене новая переменная .

Если замена имеет вид , то

, (2.3)

где и находятся из условий , . После замены переменной и изменения пределов интегрирования возвращаться к исходной переменной не нужно.

Замечание. Замена только тогда выполняется корректно, если функция является непрерывно-дифференцируемой на отрезке .

Пример 11.

=

.

Пример 12.

=

.