Учебное пособие 800347

Обозначая выражения при неизвестных в виде соответствующих коэффициентов:

v ,

перепишем систему (3.26) в более кратком виде

Матрица коэффициентов этой системы трехдиагональная, поэтому для решения воспользуемся методом прогонки /22,113,140/

Моделирование температурных полей микроплаты (подложки), кристалла ИС или дискретного АК, а также МЭУ в целом (когда нет информации о конкретной системе охлаждения для данного устройства, т.е. не определено экв), рассматриваемых в этом случае относительно внешней температуры (корпуса, теплоотвода, окружающей среды), приводит к краевой задаче,

содержащей уравнения (3.1), (3.4) при u = 0, (3.6) при q = q(x,y) и z = 0,

(3.8). Полученную систему уравнений решаем методом конечного косинуспреобразования Фурье с собственными функциями, аналогичными предыдущей задаче. Выражение для температурного поля микроплаты (кристалла) имеет следующий вид /91/:

В случае, когда размерами подложки или кристалла можно пренебречь (интегральные или бескорпусные навесные АК, пленочные элементы, которые удалены от краев на определенное расстояние, обусловленное принципом местного влияния /23/) или они неизвестны (оценка ТР на этапах функционального проектирования), переходим к ТМ2. Тогда для подобной краевой задачи ((3.1), (3.4) при u = 0, u = 0,5Lu.кт и Lu.п , (3.6) при z = 0 и (3.8)) решение требует использования метода интегрального преобразования Фурье в бесконечных пределах /111,112/

После преобразований по формуле обращения /111,112/ получаем выражение, описывающее температурное поле компонента или элемента на подложке:

где = [ 2 + x2]1/2.

Для определения входящих в уравнения краевых задач коэффициентов или экв рассматриваются три случая теплообмена: конвективный (поверхности конструкции МЭУ, соприкасающиеся с газовой или жидкой средой), излучением, кондуктивный ( поверхности, контактирующие с другими частями конструкции).

Конвективный коэффициент теплоотдачи определяется с помощью критериального уравнения подобия /16,23,29,138/

Коэффициент теплоотдачи излучением рассчитывается на основании соотношений, базирующихся на использовании закона Стефана-Больцмана

/23,29/.

При наличии теплоотводящих устройств (например, радиаторов) определяется эквивалентный коэффициент теплоотдачи /53/

Sт - площадь его основания;

P - рассеиваемая мощность.

Величина экв зависит от конструкции теплоотвода, применяемых материалов, вида охлаждения. Ее определение основано на анализе температурных полей конструктивных элементов теплоотвода, отводящих тепло (ребер, штырей, пластин, каналов с теплоносителем и т.д.) /23,138/.

Процесс кондуктивного теплообмена приходится рассматривать в следующих случаях:

микроплата приклеена к корпусу; кристалл припаян или приклеен к корпусу ИС или подложке;

устройство (корпусированные и бескорпусные ГИС, МСБ, МКМ и др.) приклеено или прижато к плате или теплоотводящей поверхности;

зазоры между соответствующими КТС, корпусом и платой меньше 5 мм (конвекция отсутствует или пренебрежимо мала /23,138/).

Здесь необходимо переходить к краевой задаче с граничными условиями первого рода (3.8), для которой получено решение (3.34), или исполь-

При необходимости учета теплоотвода через выводы и крышку корпуса в экв входят дополнительные слагаемые, которые определяются из

(3.17)-(3.18):

Полученные соотношения (3.25), (3.35) и (3.36) могут быть использованы и для устройств и приборов в корпусах круглой формы (тип 3 для ИС и МСБ), при этом они заменяются эквивалентным квадратом со стороной L = R 1/2, где R - радиус корпуса.

Для более детального и строгого анализа температурных полей в этих конструкциях целесообразно рассматривать такую задачу в цилиндрической системе координат (r, ,z), тогда при условии симметрии температурного поля уравнение (3.1) примет вид

Решение осуществляется с помощью интегрального преобразования Ханкеля по координате r /112/, использующего в качестве собственной функцию Бесселя первого рода нулевого порядка J0 /112/. Применяя для вычислений, входящих в формулу обращения функций Бесселя нулевого J0 и первого порядка J1, интегральные представления /126/, запишем решение в окончательном виде

где r - радиус или эквивалентный радиус ИТ; n - решение уравнения J0( n) = 0 /173/.

3.2.2.2. Нестационарные задачи

Моделирование температурных полей ИС, интегральных и дискретных АК требует учета реальных временных и частотных режимов работы, т.е. вида конкретных сигналов, что приводит к нестационарным задачам с зависимыми от времени тепловыми потоками q(x,y,t). В случае комбинации различных граничных условий, содержащих разные координатные и временные зависимости перегревов и тепловых потоков, решения таких задач для объемных температурных полей записываются в виде тройных рядов Фурье /111,112/, что может затруднять вычисления и увеличивать затраты времени.

Учитывая высокую теплопроводность кремния и материалов корпусов

/5,16,23,26,28,29,32,48,58,65,66,72,84,138/ и расположение областей макси-

мальных перегревов на поверхности кристаллов, упростим задачу для случая ИТ с произвольными зависимостями q(x,y,t) путем перехода к двумерной постановке, которая включает уравнение (3.1) для координат x и y, дополненное в правой части слагаемым q(x,y,t)/Lz, а также практически важные случаи граничных условий: (3.4) при u = 0 (адиабатические) или (3.5) при u.3 = 0 (нулевые) и начальное условие (3.9).

С помощью преобразования (3.20) уравнение (3.1) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для изображения (t), решение которого, выраженное через экспоненциальные функции /112,126/ и подставленное в соответствующую формулу обращения /112/, позволяет получить искомое выражение для температурного поля в общем виде (любые функции q(x,y,t)) при условиях (3.4) - собственные функции cos(n u/Lu), и (3.6) - sin(n u/Lu):

где = [(n/Lx)2 + (m/Ly)2]1/2;

Knm = 1 при n = m = 0;

Knm = 0,5 при n(m) = 0 и m(n) > 0; Knm = 0,25 при n > 0 и m > 0;

a = /(c ) - температуропроводность материала ТМ.

При работе АК в режиме, когда выделение тепловой энергии происходит в течение дискретных повторяющихся (периодических или апериодических) временных интервалов (например, в случае импульсных сигналов с большой скважностью, гармонических сигналов низкой частоты и т.п.), необходимо знать остаточное значение перегрева к началу следующего рабочего интервала. Для этого решается задача на охлаждение при заданном начальном распределении перегревов: (3.1), (3.5), (3.8) при z = Lz и z = 0, (3.9) с

н(x,y). Собственными функциями здесь будут sin(n u/Lu) /112/, используя для решения такой задачи соответственно синус-трансформанту Фурье /112/, получим

Рассмотрим задачу моделирования трехмерного температурного поля по уравнению (3.1) в упрощенной постановке, а именно, для случая нулевых граничных условий (3.4) и (3.8), условии (3.6) при z = 0 и нулевом началь-

ном условии (3.9). Находим соответствующие собственные функции /112/: cos(n x/Lx), cos(m y/Ly) и cos( (2k-1) z/2Lz), применяем к данной системе конечные интегральные косинус-преобразования по трем пространственным координатам, переходим к обыкновенному дифференциальному уравнению по времени для (t), решением которого являются экспоненты /112/. По трехмерной формуле обращения, аналогичной (3.21), окончательно получаем следующую зависимость:

Если q(x,y,t) = const, то последнее выражение существенно упрощается. Например, для практически важного случая q = 1 зависимость (3.49) описывает переходную тепловую характеристику, с помощью которой возможно исследовать температурные поля при различных функциях q(t), применяя метод Дюамеля /112,126/. После подстановки q = 1 и интегрирования выражение (3.49) примет вид