Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800319

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Функция U(x) - нечетная (рис.1), поэтому все коэффициенты an 0 ,

b		2			cos		x	sin nxdx					1		sin n						1	x	sin n		1	x dx
b					cos			sin nxdx							sin n							x	sin n			x dx
n					2														2						2
			0		2								0						2						2
			0										0
				cos n						1		x	cos n				1	x
										1							1
		1							2						2									8			.
		1							2						2									8

						n			1					n		1							(2n	1)(2n		1)
						n			2					n	2					0
									2						2
Следовательно,
Следовательно,
cos	x			8 sin x								2sin 2x 3sin 3x									K			n sin nx			K .
cos																					K						K .
2					1 3						3 5				5			7					(2n	1)(2n		1)

Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области непрерывности при всех значениях x, кроме xk=2 k, k=0, 1, 2,…, которые являются точками разрыва функции. В точках xk по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна нулю.

3.3. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в интервале (0, )

Во многих задачах функция f (x) задается в интервале (0, ) . Требуется представить данную функцию в виде бесконечной суммы синусов и косинусов углов, кратных

числам натурального ряда, т.е. необходимо произвести разложение функции в ряд Фурье. Обычно в таких случаях поступают следующим образом.

Чтобы разложить заданную функцию по косинусам,

функцию	f (x) доопределяют в интервале (	,0)	четным
образом,	т.е. так, что в интервале ( , )	f (x)	f ( x) .

Тогда для «продолженной» четной функции справедливы все рассуждения предыдущего параграфа, и, следовательно, коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам

ak	2	f (x) coskx dx	(k	0,1, 2, ) ,


		0
bk	0		(k	0,1, 2, ) .

В этих формулах, как видим, фигурируют значения функции f (x) , лишь заданные в интервале (0, ) . Чтобы

разложить функцию f (x) , заданную в интервале (0, ) , по синусам, необходимо доопределить эту функцию в интер-

вале ( ,0)	нечетным образом,		т.е. так, что в интервале
( , ) f ( x)		f (x) .
Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье нуж-
но вести по формулам
ak	0		(k	0,1, 2, ) ,
bk	2	f (x) sin kx dx	(k	0,1, 2, ) .


		0

Замечание. Функция f (x) , заданная в интервале (0, ) может быть доопределена в интервале ( ,0) лю-

бым образом, а не только так, как было сделано выше. Но при произвольном доопределении функции разложение в ряд Фурье будет более сложным, чем то, которое получается при разложении по синусам или косинусам.

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f (x) x , заданную в интервале (0, )

(рис.2а).

Решение. Доопределим функцию f (x) в интервале ( ,0) четным образом (график симметричен относительно оси Oy ) (рис.2б).

			y			y
			0	x		0	x
			а				б
				Рис.2
a0	2	(	x) dx	2 (	x)2	,
a0		(	x) dx	2		,
		0		2		0
		0				0

2		2 ( x) sin kx
ak	( x) coskx dx
			k	0
0

	2 1		sin kx dx			2				coskx			2		(1 cosk ) .
	2 1					2							2

		k 0						k	2			0	k	2
		k 0						k	2				k	2
Так как cosk						( 1)k , то
Так как cosk						( 1)k , то
при k		2n		ak	0 ,
при k		2n	1		ak	4						(n 1, 2, )

							(2n			1)
							(2n			1)
и
f (x)					4 cos x				cos3x		cos5x				.

			2			12				32	52
			2			12				32	52

3.4. Разложение в ряд Фурье периодической функции, период которой равен 2l

До сих пор мы рассматривали функцию, заданную в интервале ( , ) , считая ее вне этого интервала периоди-

ческой, с периодом 2 .
Рассмотрим теперь функцию								f (x) , период которой
равен 2l, т.е. f (x)	f (x			2l) , и покажем, что в этом случае
функция f (x) может быть разложена в ряд Фурье.
Положим x		l	t ,	или t			x	. Тогда при изменении
							l

x от –l до l новая переменная t						изменяется от			до и,
следовательно, функцию				f	lt	можно рассматривать как

функцию, заданную в интервале от

до

и периодиче-

скую вне этого промежутка, с периодом 2 .

Итак,

f (x) f

F (t) .

Разложив F(t)

в ряд Фурье, получим

F (t)

(ak coskt

sin kt)

где

F (t) coskt dt

0,1, 2, )

f (t) sin kt dt

0,1, 2, ) .

Переходя к старым переменным, т.е. полагая

dx ,

получим

f (x) ,

coskt cos

x и sin kt

sin

x .

То есть ряд Фурье для функции f (x) , заданной в интервале ( l,l) , будет иметь вид:

f (x)	a0	ak cos	k	x	bk	sin	k x	,
	2 k 1			l			l

где

a0	1 l		f (x) dx ,
	l	l

ak	1 l		f (x) cos	k	x	dx	,

	l	l			l

b	1 l	f (x) sin	k	x	dx	(k 0,1, 2, ) .

k	l			l
		l

Если функция f (x) четная, то формулы для определения коэффициентов ряда Фурье упрощаются:

2 l

f (x) dx ,

2 l

f (x) cos

0,1, 2, ) .

В случае, если функция

f (x)

нечетная:

2 l

f (x) sin

(k 0,1, 2, ) .

Если функция f (x) задана в интервале (0,l) , то ее можно продолжить в интервале ( l,0) либо четным, либо нечетным образом. В случае четного доопределения функции в интервале ( l,0) коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам

ak		2 l	f (x) cos	k	x	dx ,	(k 0,1, 2, )

		l 0
		l 0			l
bk	0 .

В случае нечетного доопределения функции в интервале ( l,0) коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам

ak 0 ,

b	2 l	f (x) sin	k	x	dx	(k 0,1, 2, ) .

k	l 0			l

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x)

x , если 0 x 2 4 x , если 2 x 4

по синусам кратных дуг.

Решение. График заданной функции представлен на рис.3. Продолжим функцию нечетным образом (рис.4), т.е. будем вести разложение по синусам.

0 2 4

Рис.3

0 2 4

								Рис.4
		Все коэффициенты ak 0							(k 0,1, 2, ) ,
	2 4			k	x		1 4		k x
b			f (x) sin			dx		x sin		dx
b			f (x) sin			dx		x sin		dx
k	4 0				4		2 0		4
	4 0				4		2 0		4

										1 4		(4	x) sin			k	x	dx		(k 1, 2, ) .

										2 0							4
										2 0							4
Введем замену t								x	. Тогда при x								2		t		, при	x 4
Введем замену t							4		. Тогда при x								2		t	2	, при	x 4
							4													2
t		.

b		1 2	4t		sin kt	4	dt			1		4		4t	sin kt			4	dt
	k
		2 0								2


											2

		8	2	t sin kt		dt	8				(		t) sin kt				dt

		2							2
		2							2
			0
											2

8	t	coskt
2	t	k
2

	8		2				(	t) coskt
2			2
2				coskt		dt

0		2 k						k
			0
			0								2
											2
	8				coskt	dt	16	sin	k	x	.

		2 k					2 k 2			4
			2

Таким образом

					sin	3	x		sin	5	x
f (x)	16	sin	x				4				4	.
	2		4	32				52

3.5. Комплексная форма ряда Фурье

Пусть f (x) -		периодическая функция периода
T 2 , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд
Фурье, тогда
f (x)	a0	an cosnx bn sin nx ,
	2
		n 1

при этом коэффициенты ряда определяются равенствами. Преобразуем общий член ряда an cosnx bn sin nx с помощью формул Эйлера:

cosnx

b sin nx a

einx e

inx

einx

e inx

einx

e inx

einx

e inx

einx

inx .

Если положить:

ibn

или, что то же,

c n cn ,

то общий член ряда Фурье запишется в виде:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20221.51 Mб1Учебное пособие 800314.pdf
#
01.05.20221.52 Mб7Учебное пособие 800315.pdf
#
01.05.20221.52 Mб1Учебное пособие 800316.pdf
#
01.05.20221.52 Mб10Учебное пособие 800317.pdf
#
01.05.20221.54 Mб2Учебное пособие 800318.pdf
#
01.05.20221.55 Mб8Учебное пособие 800319.pdf
#
01.05.2022325.45 Кб1Учебное пособие 80032.pdf
#
01.05.20221.57 Mб5Учебное пособие 800320.pdf
#
01.05.20221.58 Mб19Учебное пособие 800321.pdf
#
01.05.20221.6 Mб4Учебное пособие 800322.pdf
#
01.05.20221.6 Mб1Учебное пособие 800323.pdf