Учебное пособие 800319

1)ряд сходится в случае l<1,

2)ряд расходится в случае l>1.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Применим признак Коши:

Ряд сходится.

Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай

требует дополнительного исследования.

1.6. Интегральный признак сходимости ряда

Теорема. Пусть члены ряда

положительны и не возрастают, т.е.

13

Теорема 1. Если знакопеременный ряд

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Определение. Знакопеременный ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Если же знакопеременный ряд (1.12) сходится, а ряд (1.13), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1.12) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

ется условно сходящимся, так как ряд, составленный из аб-

дится, что легко проверить с помощью признака Лейбница.

16

знаменателем x). Таким образом, в интервале (-1,1) данный ряд определяет функцию

Обозначим через sn (x) сумму первых n членов ряда (1.14). Если этот ряд сходится и сумма его равна s(x), то

s(x) sn (x) rn (x) ,

т.е. остаток rn (x) сходящегося ряда стремится к нулю при n .

18

а ряд

как известно, сходится.

Непосредственно из определения следует, что ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках это области (см. п.1.8). Кроме того, мажорируемый ряд обладает еще следующим важным свойством.

Теорема. Пусть функциональный ряд

мажорируем на отрезке [a, b]. Пусть s(x) – сумма этого ряда, sn (x) - сумма n первых членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа 0 найдется положи-

какова бы ни было x из отрезка [a, b].

1.11. Степенные ряды. Интервал сходимости

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

20

где a0 , a1 , a2 ,..., an ,... - постоянные числа, называемые ко-

эффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

Теорема 1. (теорема Абеля).

1) Если степенной ряд сходится при некотором значении x0 , не равном нулю, то он абсолютно сходится при

всяком x, для которого xx0 ;

2) если ряд расходится при некотором значении x 0' , то он расходится при всяком x, для которого xx0' .

Теорема 2. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение 2. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от –R до +R, что для всякой точки x, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек x, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.

Пусть имеем ряд

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Для определения сходимости последнего ряда (с положительными членами!) применим признак Даламбера.

21

Допустим, что существует предел

Тогда по признаку Даламбера ряд (1.16) сходится, если

расходится.

Из предыдущего следует, что интервал 1 L , 1 L есть интервал сходимости степенного ряда (1.15), т.е.

Аналогичным образом для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Коши, и тогда

Пример 1. Определить интервал сходимости ряда

1 x x2 x3 ... xn ... .

22