Учебное пособие 800319

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, n 1,2,3K n 1, n 0, an 0,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

0,1

22.

0,5

ln 1 2x		0,21	e	x			1,5		dx
	dx . 23.				dx .	24.				.
x			x
		0					0	4 81 x4
		0					0	4 81 x4

25.sin 4x2 dx .

Задача 4. Применяя метод последовательных дифференцирований, найти указанное число членов разложения в ряд решений, отличных от нуля, по степеням x x0 сле-

дующих дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях.

acr sin y

x ,

y(0)

(четыре члена);

e y sin y ,

)

1, y (

)

(пять членов);

y 1 ,

y(0)

(пять членов);

x 2

y 2 ,

2, y (

0,5 (семь членов);

ln(y

x) ,

y(1) 0

(пять членов);

6.	y	y cos x	3e x y 2 sin x				0 ,	y(0)	1 (четыре члена);
7.	y	y cos2 x	y 2 sin x		ln(x		1)	0 ,	y(0) 3 (четыре
члена);
8.	y	( y )2	xy ,	y(0)		4, y (0)		2	(пять членов);
9.	y	4 y 2xy2		e3x	0 ,	y(0)		2	(четыре члена);

10.

y cos y

x ,

y(0)

1, y (0)

(пять членов);

11.

x 2

1 ,

y(2)

(пять членов);

12.

xyy ,

y(1)

1, y (1) 1

(шесть членов);

13.

2 y

y) y

e x

0 ,

y(0)

(четыре члена);

14.

y(1)

1, y (1)

(шесть членов);

15.

cos y ,

y(0)

(пять членов);

16.	y	yex	x( y )2 ,				y(0)		1, y (0)		2, y (0) 0,5
(шесть членов).
17.	y	xy	e y ,		y(0)		0		(четыре члена);
18.	y	x 2 y 2 1,			y(0)			1	(шесть членов);
19.	y	2 cos x		xy2		,	y(0)		1	(пять членов);
20.	y	e x	y 2	,	y(0)			0	(четыре члена);
21.	y	y	xe y , y(0) 0						(пять членов);
22.	y	2y	cosx ,			y(0)		1		(четыре члена);
23.	y	xy	y 2 ,		y(0)			1 , y (0) 2			(пять членов);
24.	y	2	y cos y ,			y(0)			0, y (0)		1 (шесть членов);
25.	y	x 2	y 3	,	y(1)		1		(четыре члена).

Глава III РЯДЫ ФУРЬЕ

3.1. Определение. Постановка задачи

Функциональный ряд вида

a0	a1 cos x b1 sin x a2	cos2x b2 sin 2x K	,
2

или, более сжато, ряд вида

a0	(an cosnx bn sin nx) ,	(3.1)
2
	i 1

называется тригонометрическим рядом. Постоянные чис-

ла a0 , an и bn (n=1, 2, …) называются коэффициентами

тригонометрического ряда.

Если ряд (3.1) сходится, то его сумма есть периоди- чес-кая функция f (x) с периодом 2 , так как sin nx и cosnx являются периодическими функциями с периодом

2 .

Таким образом,

f (x) f (x 2 ) .

Поставим следующую задачу.

Дана функция f (x) , периодическая с периодом 2 . При каких условия для f (x) можно найти тригонометри-

ческий ряд, сходящийся к данной функции?

Эта задача будет решаться в настоящей главе.

Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье. Пусть периодическая с периодом 2функция f (x) такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (- , ), то есть является суммой этого ряда:

f (x)	an	(an cosnx bn sin nx) .	(3.2)
	2
		n 1

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда (3.2). Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, то есть сходится положительный числовой ряд

K . (3.3)

Тогда ряд (3.1.) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать в промежутке от - , :

f (x)dx	a0	dx	a		cosnxdx	b sin nxdx .
				n
	2					n
			n 1

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

a0	dx	a		,
2	dx	a	0	,
			0


an cosnxdx	an	cosnxdx	an		sin nx	0 ,
					n

b sin nxdx	b	sin nxdx	b	cosnx		0 .


n	n		n		n

Следовательно,

f (x)dx a0 ,

откуда

a0	1	f (x)dx .	(3.4)

Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам потребуются некоторые определенные интегралы, которые мы рассмотрели предварительно.

Если n и k- целые числа, то имеют место следующие равенства:

Если n k, то

cosnx coskxdx 0 ,

cosnxsin kxdx 0 ,

(I)

sin nxcoskxdx 0 ,

если же n=k, то
cos2 kxdx	,

sin kx coskxdx	0 ,	(II)
sin2 kxdx	.

Вычислим, например, первый интеграл из группы

(I). Интегралы группы (II) вычисляются непосредственно. Теперь мы можем вычислить коэффициенты ak и bk ряда

(3.2).

Для разыскания коэффициента ak при каком-либо

определенном значении k 0 умножим обе части равенства

(3.2) на coskx :

f (x) coskx	a0	coskx	(a		cosnx coskx	b sin nx coskx)
f (x) coskx		coskx	(a	n	cosnx coskx	b sin nx coskx)
	2			n		n
	2		n 1
						(3.2’)

Ряд, получившийся в правой части равенства, мажорируем, так как его члены не превосходят по абсолютной величине членов сходящегося положительного ряда (3.3). Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке.

Проинтегрируем равенство (3.2’) в пределах от - до

f (x) coskxdx

a0	coskxdx	an cosnx coskxdx bn coskxsin nxdx .
2
		n 1

Принимая во внимание формулы (II) и (I), видим, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом ak .

Следовательно,

f (x) coskxdx		a	k	cos2 kxdx	a	k	,
			k			k
откуда
1		f (x) coskxdx. .					(3.5)
ak
ak
Умножая обе части равенства (3.2) на sin kx и снова
интегрируя от - до , найдем
f (x) sin kxdx b		sin2 kxdx b				,
	k			n
откуда
1
bk		f (x) sin kxdx. .					(3.6)
bk		f (x) sin kxdx. .					(3.6)

Коэффициенты, определенные по формулам (3.4)- (3.6), называются коэффициентами Фурье функции f (x) , а

тригонометрический ряд (3.1) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f (x) .

3.2. Примеры разложения функции в ряды Фурье

Приведем примеры разложения функции в ряды Фу-

рье.

Пример 1. Периодическая функция (x) определена

следующим образом: (x)	x	, (0,2 ).
	2

Данная функция не четная и не нечетная, поэтому вычисляем ее коэффициенты по общим формулам, полагая L и берем пределы интегрирования от 0 до 2 .

1 2	x		1	x		1
an		cosnxdx			sin nx		sin xdx
	2		2	n		n
0

при n=0 полученное выражение для an не имеет смысла.

1 2	x		x 2	2


a0		dx		,
	2		4
0				0

b	1 2	x	sin nxdx	1	sin nx	x cosnx
b			sin nxdx
0		2		2	n2	n
	0	2		2	n2	n
	0

1 .

Искомое разложение данной функции в ряд имеет

вид:

x		sin nx			sin x		sin 2x		sin 3x	K.

2	2 n 0 n		2	1		2		3
2	2 n 0 n		2	1		2		3

Это разложение справедливо, то есть полученный ряд сходится к данной функции во всех точках ее области

определения 0 x 2 .	(В граничных точках x 0 и
x 2 сумма ряда равна			, в этих точках все члены ее
		2

ряда, кроме правого, обращаются в нуль. То же значение имеет сумма ряда в указанных точках и по теореме Дирихле).

Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию:

U (x) cos	x	, 0 x 2 , U (x) U (x 2 ).

2

0	2	3	x

Рис.1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20221.51 Mб1Учебное пособие 800314.pdf
#
01.05.20221.52 Mб7Учебное пособие 800315.pdf
#
01.05.20221.52 Mб1Учебное пособие 800316.pdf
#
01.05.20221.52 Mб10Учебное пособие 800317.pdf
#
01.05.20221.54 Mб2Учебное пособие 800318.pdf
#
01.05.20221.55 Mб8Учебное пособие 800319.pdf
#
01.05.2022325.45 Кб1Учебное пособие 80032.pdf
#
01.05.20221.57 Mб5Учебное пособие 800320.pdf
#
01.05.20221.58 Mб19Учебное пособие 800321.pdf
#
01.05.20221.6 Mб4Учебное пособие 800322.pdf
#
01.05.20221.6 Mб1Учебное пособие 800323.pdf