Учебное пособие 800319

y 2

1

(x 1)

5

(x 1)2

15

(x 1)4

1

(x 1)5

.

2

2

16

8

y p1 (x) y

p2 (x) y

f (x)

(2.15)

с начальными условиями y

y0 ,

y

y0 .

x

x0

x x0

y c

0

c (x

x

0

)

c

2

(x

x

0

)2

c

n

(x

x

0

)n

(2.16)

1

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты c0

и c1

определяются при помощи

начальных условий c0

y0 , c1

y0 .

сходится в том же интервале (x0 R, x0

R) и служит ре-

шением уравнения (2.15).

Пример. Найти решение уравнения

y xy y x cos x , y(0) 0 ,

y (0) 1 ,

пенные ряды: p1 (x) x ,

p2 (x)

1 ,

x2

x4

f (x) x cos x

x 1

.

2!

4!

y c

0

c x c

2

x2

c x3

.

1

3

Тогда

y c 2c

2

x 3c x2

4c

4

x3

,

1

3

y 2c

2

2 3 c x 3 4 c

4

x2

.

3

Из начальных условий находим: c0

0 , c1

1 . Подставля-

(2c

2

2 3 c x 3 4 c

4

x2

)

3

x(c 2c

2

x 3c x2

4c

4

x3

)

1

3

(c

0

c x c

2

x2

c

3

x3 )

1

x2

x4

x6

x 1

.

2!

4!

6!

x0

2c2 0

x1

2 3 c3

2

1

x 2

3 4 c4

2c2

c2

0

x3

4 5 c5

3c3

c3

1

2

x 4

4c4

c4

0

5 6 c6

Отсюда находим, что c2

c4

c6

0 , c3

1

,

3!

c5

1

, c7

1

, … Таким образом получаем решение

5!

7!

уравнения в виде

x3

x5

x7

y x

,

3!

5!

7!

т.е. y

sin x .

x 2

x3

1

1.

а)

, б)

;

2. а)

, б)

1 x

2

;

(1 x)2

(1 x2 )2

1 2x

3.

а)

5x

4

,

б)

x 2 ln(4

x 2 ) ;

x 2

4.

а)

1

,

б) (1

x) ln(1

x) ;

x2

2x

3

5.

а)

1

, б) ln

3

1 x

;

2x2

5x

3

1

x

6.

а)

3x

4

,

б) (1

x 2 )arctg x ;

x2

x

6

7.

а)

5 2x

, б) ln

3 2x

;

x2

5x

6

2 3x

8.

а)

4

3x

,

б)

ln(12

x

x 2 ) ;

x3

4x

9.

а)

x

,

б) ln

2

x2

;

(x 1)(x2

1)

1

x

10.

а)

1

,

б)

ln

2x

1

;

5

4x

x2

x2

4x

4

11.

а)

1

,

б)

ln

10

3x

x

2

;

3x4

10x

2

3

4

3x

12.

а)

1

,

б)

ln

x

2

8x

16

;

2x4

5x2

2

x

8

1

13.

а)

,

б) ln

3

x

6x2 2x3 ;

(1

x2 )(x

2

4)

14.

а)

1

,

б) sin3x ;

x4

2x2

3

15.

а)

2x

3

,

б)

x cos3 2x ;

x2

5x

6

16.

а)

x

7

,

б) sin x cos2 x ;

2x2

5x

3

17.

а)

x

1

,

б) sin3x sin5x ;

(x

1)(x2

4)

18.

а)

3

x

,

б)

x2ch2 x ;

5

4x

x

2

19.

а)

x

,

б)

xsh2 x ;

x2

2x

3

20.

а)

x

1

,

б) sin5 x ;

3x4

10x

2 3

21.

а)

x

,

б)

cos2xsin2 2x ;

x2

5x

6

22.

а)

x

3

, б) x cos4xsin 2x ;

2x4

5x2

2

23.

а)

2

x

,

б)

x

2

cos

2

x

;

x3

2

16x

24. а)

x

3

,

б) xsin3 x ;

(x

2)(x2

25)

25. а)

2x2

x

3

,

б) x sin 2x cos3x .

(1

x)2

(2

x)

пенью точности .

1.

0,0001;

2.

1

,

0,0001;

e ,

e

3.

3 8,36 ,

0,001;

4.

lge ,

0,0001

5.

0,001;

6.

4

0,001;

ln5 ,

90 ,

1

7.

10 1080 ,

0,001;

8.

,

0,001;

7

136

9.

0,0001;

10. 5

0,001;

ln10 ,

250 ,