Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800226

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Пример 25. Определить характер особой точки для функции f z e1z2 .

Решение. Очевидно, что z0 0 является особой точкой функции f z . Рассмотрим поведение этой функции на дейст-

вительной и мнимой осях.

На действительной оси z x

f x e1 x2

при

x 0 .

На

мнимой

оси

z iy

f iy e 1 y2

при

y 0. Следовательно,

предел f z

точке z0 0

не существует. Поэтому точка z0 0

– сущест-

венно особая точка функции

f z .

Пример 26. Определить характер особой точки для функ-

ций f z z 1 cos

z 1

z0 1

Решение. Очевидно, что

является особой точкой

функции f z . Используя разложение

cos 1

и полагая

, получим лорановское разложение функции

z 1

f z в окрестности точки z0

f z z 1 1

2! z 1

4! z 1

6! z

z 1

4! z 1 3

6! z 1 5

2 z 1

Отсюда видно, что главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много членов. Следовательно, точка z0 1 является су-

щественно особой точкой функции f z .

ГЛАВА 5 ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

5.1. Вычеты. Вычисление контурных интегралов

Пусть точка z0 есть изолированная особая точка функ-

ции

f z . Вычетом функции

f z

в точке z0

называется

число

res f z =res f z

res f z , z

f z dz ,

z z0

2 i

z z

где

z z0

– окружность с центром в точке z0

достаточно

малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пре-

делы области аналитичности функции

f z

и не содержала

внутри других особых точек функции

f z .

Обход контура

производится против часовой стрелки.

Если функция

f z

разложена в сходящийся ряд Лорана

в окрестности точки z0 , то вычет равен

res f

z , z

(5.1)

т.е. коэффициенту при степени n 1.

Если функция

f z

аналитична в точке z0

или если z0 –

устранимая особая

точка

для

f z ,

то

res f z , z

Если z0 – полюс 1-го порядка для функции

f z , то

res f z , z

lim

f z

z z

(5.2)

z z0

если при этом f z

, где функции z

и z

– ана-

литические в точке z0 , z0 0, z0 0, z0 0, то

100

101

res f z , z

(5.3)

Если точка z0

– полюс k -го порядка k 1

для функции

f z , то

res f z

, z

lim

z z z

k k 1 .

(5.4)

k 1 !z z0

Если точка z0

есть существенно особая точка функции

f z , то для нахождения

res f z0

необходимо найти коэф-

фициент c 1 в лорановском разложении функции

f z

в окре-

стности точки z0 : это и будет res f z0 .

Пример 1. Найти вычеты функции

f z

sin z2

в ее

особых точках.

sin z2

Решение.

Особыми точками функции

f z

являются нули знаменателя, т.е. точки z1 0 и z2

В точке z1 0 имеем

lim f z lim

sin z2

lim

sin z2

z 0

z 0 z2 z 4

4 z 0 z2

Следовательно,

точка

z1 0

есть устранимая

особая

точка

функции f z . Поэтому res f 0 0.

В точке z2 4 имеем

f z

sin z2

Следовательно, точка z2 4 есть полюс первого порядка. Согласно формуле (5.2) имеем

res f

lim

f z z

sin

z 4

Пример 2. Найти вычеты функции

f z

z 1 3 z 2

в ее особых точках.

f z

Решение.

Особыми

точками

функции

являются

точки

z1 1

Точка

z1 1

является

полюсом

третьего порядка. Согласно формуле (5.4) имеем

ez z

2 ez

res f

lim

z 1

z 2

ez z 2 ez ez z 2

2 z 2

ez z 2 ez

lim

z 1 4

2 z 1

z2 6z 10 ez

lim

z 2 3

2 z 1

54e

Точка

z2 2 –

полюс первого порядка,

поэтому по формуле

(5.2) имеем

res f 2 lim f z z 2 lim

z 2

z 2 z 1 3

Пример 3.

Найти вычеты функции

f z

в ее

4 1

особых точках.

f z

Решение.

Особыми

точками

функции

являются

нули знаменателя, т.е. корни уравнения z4 1. Имеем

102

103

i								i		3														i			3													i
i						z		i																i					,					z						i
z e 4 ,						z	2	e 4 ,										z e 4											,					z			4	e 4 .
1							2											3																			4
Пользуясь формулой (5.3), получим
					1									1														1	e i				3											1 i ,
res f z																																	3								2
																																	4								2
																																	4
1			4										4z				3					i				4													8
																			z e 4
																			z e 4
	z					1		z ei
	z					1			4																										9
						1			4					1															1				i


res f z2																																										2			1 i ,
																																										2
																							3								e						4
				4											4z3						z ei		3						4		e						4		8
										3														4
										3														4
		z				1		z ei
		z				1					4																									9
					1						4						1													1		ei												1 i ,


res f z																																										2
																									3											4						2
																									3											4
3			4													4z3						z e i							4										8
												3														4
												3														4
	z					1		z e i
	z					1					4																							3
					1						4			1															1				i


res f z4																															e									2			1 i .
																																								2
																																	4
			4											4z3						z e i									4				4						8
																								4
																								4
	z					1		z e i
	z					1						4																		f z z3 sin																1
												4
Пример 4. Найти вычет функции																																															в ее
Пример 4. Найти вычет функции																																														z2	в ее
особой точке.																																														z2
особой точке.																													f z
Решение. Особой точкой функции																													f z									является точка

z0	0. Лорановское разложение функции в окрестности точки
z0	0 имеет вид
	z	3	1		1		1	z	1		1

				2	3!z	6	10		3!z	3	5!z	7
		z			3!z		5!z		3!z		5!z

т.е. содержит бесконечное число слагаемых в главной части, поэтому особая точка z0 0 является существенно особой

104

точкой. Вычет функции в точке z0 0 равен нулю, так как ко-

эффициент c 1 в лорановском разложении f z равен нулю.

Пример 5.	Найти вычет функции f z		sin3z 3sin z	в

			sin z z sin z
ее особой точке.
Решение. Особой точкой функции f z является точка
z0 0. Эта	точка является нулем	как числителя

z sin3z 3sin z, так и знаменателя z sin z z sin z .

Определим порядки нуля для этих функций, используя разложение в ряд Тейлора sin z в окрестности точки z0 0. Имеем

z sin3z 3sin z 3z

33z3

35z5

37 z7

3 z

3 3

5 z3

z ,

где

33 3

35 3

4 ,

0 4 0;

z sinz z sin z

1 z2

z ,

3! 5!

где 1 0 1 6. Следовательно,
f z	sin3z 3sin z		z3 z			z
				1		1		,
	sin z z sin z			4 1 z
			z			z 1 z
и так как 1 0 0, 1 0 0,		то точка			z0 0		является про-

стым полюсом данной функции, поэтому ее вычет в точке z0 0 находим по формуле (5.2)

105


res	sin3z 3sin z	lim	1 z	z	1 0	4		24.
	sin z z sin z					1 6
z 0		z 0 z 1 z		1 0
Пример 6. Найти вычеты функции f z							e1 z		в ее осо-

						1 z

бых точках.

Решение. Особыми точками данной функции являются точки z1 1 и z2 0. Очевидно, что точка z1 1 – простой полюс, поэтому

res f z

e1 z

e1.

1 z

z 1

Для установления характера особой точки z2 0 разложим функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем

e1 z	1		1	1	1	,
	1
		z	2!z2	3!z3	4!z4

1 1 z z2 z3 z4

1 z

Перемножая эти ряды, получим

f z 1e1zz 1 1z 2!1z2 3!1z3 1 z z2 z3

правильная часть

	1 1	1	1 1 1			1 c
1							3
							z3
	2! 3!	z	2! 3!	4!	z2

Так как главная часть ряда Лорана содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями z , то точка z2 0 является существенно особой точкой данной функции. Ее вычет в точке z2 0 равен

res f z c 1 1	1	1	e 1.

z 0	2! 3!

Пример 7. Найти вычеты функции f z

z 1 z 2 2

в ее особых точках.

Решение. Функция имеет две особые точки: z1 1 – про-

стой полюс и z2 2 – полюс кратности 2. В случае простого полюса вычет вычисляется по формуле (5.2):

res f 1 lim	f z z 1 lim	z	1.

z 1	z 1 z 2 2

В случае полюса z2 2 вычет вычисляется по формуле (5.4).

Для z2 2 и k 2 получаем

			z		1
res f z , 2 lim				lim		1.

	z 2			z 2 z 1 2
		z 1

Пример 8. Найти вычет функции	f z coszsin	1	в ее

особой точке.		z
	f z является точка
Решение. Особой точкой функции

z0 0. Для установления характера особой точки разложим функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем

			cosz 1							z2					z4		z	6
																				,
														4!						,
							2!							4!		6!
		1			1		1							1				1
			sin
			sin	z		z		3!z3						5!z5					7!z7
Перемножая эти ряды, получим
	f z cosz sin								1		правильная часть
	f z cosz sin										правильная часть
	1	1					1		z				1			1					1	1
	1	1					1						1			1					1	1
1
1	2!3!		4!5!																		4!7!	z3
	2!3!		4!5!				z					0!3!				2!5!					4!7!	z3

106

107

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное множество членов, а значит, точка z0 0 – существенно особая точка данной функции. Искомый вычет равен

res

coszsin

c 1 1

2n ! 2n 1 !

z 0

2! 3!

4! 5!

n 0

Пример 9. Найти вычет функции

f z z2 sin

в ее

особой точке.

z 1

f z

Решение.

Особой точкой функции

является точка

z0 1. Для установления характера особой точки разложим функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем

z2 z 1 1 2

z 1 2 2 z 1 1,

sin

z 1

3! z 1 3

5! z 1 5

Перемножая эти ряды, получим

2 1

f z z2 sin

z 1 2 1

z 1

3! z 1 2

z 1

Ряд Лорана содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями z 1 . Следовательно, точка z0 1 яв-

ляется существенно особой точкой данной функции и ее вычет в этой точке равен

		2		1			1	5
res	z		sin		c 1	1			.
				z 1			3!
z 1								6

Пример 10. Найти вычет функции	f z e1 z2	cosz в ее
особой точке.	f z является точка
Решение. Особой точкой функции	f z является точка

z0 0. Так как вычет в точке z0 0 равен коэффициенту при z 1, то получаем, что в данном случае этот вычет равен нулю, 108

поскольку функция f z e1 z2

cosz – четная и ее разложение

в окрестности точки z0 0 не может содержать нечетных сте-

пеней z .

Теорема Коши о вычетах (Основная теорема о выче-

тах). Пусть функция f z – аналитическая в односвязной об-

ласти D за исключением некоторых изолированных особых точек; C – простая замкнутая кривая, целиком лежащая в D и не проходящая через особые точки функции f z . Тогда

f z dz

2 i

z ,

(5.5)

k 1

res f

f z , находящиеся

где z1, z2 ,

, zn – особые точки функции

внутри контура C .

Пример 11. Вычислить интеграл

z 2i

Решение. Решим

уравнение

ez 1.

Получаем

i 2 n .

Подынтегральная функция

f z

имеет

ez 1

внутри круга

z 2i

одну особую точку

z0 i – полюс

первого порядка, так как ez 1 ez

0 при

z i

(рис. 5.1).

Воспользуемся формулой (5.3). Получим

Res f z , i

e i

z i

Далее воспользуемся основной теоремой о вычетах. Откуда получим согласно формуле (5.5)

109

2 iRes f z , i 2 i .

z 2i

z0= i

z =1

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Пример 12. Вычислить интеграл 2z 1 cos

dz .

z 1

Решение.

Подынтегральная

функция f z 2z 1

cos

имеет внутри круга

одну особую точку z

z 1

которая является существенно особой (докажите!) (рис. 5.2).

Поэтому

для вычисления

вычета в

точке

z0 1

применим

формулу (5.1). Имеем

cos

cos 1

cos1 cos

sin1 sin

z 1

cos1 1

sin1

2! z 1

3! z 1

z 1

Так как

2z 1 2 z 1 1, то

c 1 cos1 sin1 . Следова-

тельно, согласно (5.5),

2z 1 cos

dz 2 ic 1 2 i cos1 sin1 .

z 1

Пример 13. Вычислить интеграл

dz .

Решение.

Подынтегральная

функция

f z

ez 1

z z 1

имеет две особые точки

z1 0 и

z2 1. Они расположены

внутри круга

4 (рис. 5.3). По теореме Коши о вычетах

ez 1

dz 2 i res f

0 res f 1 .

z2 z

Точка z1 0 есть устранимая особая точка функции

f z , так

как lim

ez 1

1, поэтому res f 0 0. Так как e 1

1 0, то

z 0 z z 1

z2 1 – полюс первого порядка, поэтому

res f

1 lim

ez 1 z 1

z z 1

1 e 1.

z 1

ez 1

Таким образом

dz 2 i 1 e 1

z2 z

Пример 14. Вычислить интеграл

tgzdz .

f z

sin z

Решение. Подынтегральная функция

имеет

cosz

особые точки

k (k Z). Внутрь круга

попа-

110

111

дают две особые точки z

и z

(рис. 5.4). Остальные

особые точки лежат вне круга

2 и поэтому не учитывают-

ся. По теореме Коши о вычетах

sin z

dz 2 i res f

res f

cosz

Так как cosz sin z , а

sin zk 1 k

0, то особые точки

функции f z

являются простыми полюсами, поэтому

sin z

res f

cosz

Таким образом

tgzdz 2 i 1 1 4 i.

		/2	/2		/2
			/2	/2
-1 0	4 x		0	2	x

Рис. 5.3

Рис. 5.4

1 z2

Пример 15. Вычислить интеграл

dz.

z i

3 2

1 z2

Решение. Подынтегральная функция f z

имеет

z1 0,

z2 i

z3 i .

три особые точки

Внутрь круга

z i

3 2 попадают две особые точки

z1 0 и

z2 i, а точка

z3 i

лежит вне круга (рис. 5.5). По теореме Коши о вычетах

1 z2

dz 2 i res f 0

res f i .

z i

3 2

Так как

f z

e1 z2

и e1 i

e 1 0,

то

z2 i

является

z i z i

1 z2

простым полюсом, поэтому res f i

. Точка

z2 1

z i

z1 0 является существенно особой (докажите!). для нахождения вычета в этой точке необходимо иметь лорановское разложение функции f z в окрестности точки z1 0. Однако в данном случае искать ряд Лорана нет необходимости: функция f z четная, и поэтому можно заранее сказать, что в ее лора-

новском разложении будут содержаться только четные степени

z . Так что c 1 0 и, следовательно,

res f 0 0. Таким обра-

1 z2

зом

dz 2 i

z i

3 2 z

112

113

y	y
2,5
1			2
	0	1	x

0 x -0,5 -1

Рис. 5.5

Рис. 5.6

Пример 16. Вычислить интеграл

sin

dz .

z 1 z

Решение. Подынтегральная

функция

f z

sin

z 1

имеет две особые точки z1 1 и

0. Они расположены

внутри круга

2 (рис. 5.6). По теореме Коши о вычетах

sin

dz 2 i res f 1 res f 0 .

z 1

Так как sin

0, то z

1 – полюс первого порядка и

sin

res f 1

sin1.

z 1

Для установления характера особой точки z2 0 напишем ряд

Лорана для функции f z	1	sin	1	в окрестности этой точ-
	z 1
			z
ки. Имеем
114

f z 11z sin 1z 1 z z2 1z 3!1z3 5!1z5

правильная часть,

где c k 0

(k 2, 3, ). Так как ряд Лорана содержит беско-

нечное множество членов с отрицательными степенями z , то точка z2 0 является существенно особой и

	sin	1		1	1	1
res		z	c				sin1.


z 0	z 1		1		3! 5!

dz 2 i sin1 sin1 0.

Таким образом

sin

z 1

5.2. Вычет функции относительно

бесконечно удаленной точки

Говорят, что функция f z аналитична

бесконечно

удаленной точке

z , если функция

анали-

тична в точке 0.

Например,

функция

f z sin

аналитична

точке

z , поскольку функция

sin

аналитична в

точке 0.

Пусть функция f z

аналитична в некоторой окрестно-

сти бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z ).

Точка z называется изолированной особой точкой функ-

115

ции f z , если в некоторой окрестности этой точки нет дру-

гих особых точек функции f z .

Например, функция f z 1 имеет в бесконечности sin z

неизолированную особенность: полюсы zk k этой функции

накапливаются в бесконечности, если k .

Говорят, что z является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции f z в за-

висимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не сущест-

вует lim f z .

Критерии типа бесконечно удаленной особой точки, связанные с разложением Лорана, изменяются по сравнению с критериями для конечных особых точек.

Теорема 1. Если z является устранимой особой точкой функции f z , то лорановское разложение f z в окре-

стности этой точки не содержит положительных степеней z ; если z – полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z ; в случае существенной особенности лорановское разложение содержит бесконечное число положительных степеней z .

При этом лорановским разложением функции f z в ок-

рестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение функции f z в ряд Лорана, сходящееся всюду вне

круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z 0 (кроме, быть может, самой точки z ).

Пусть функция f z – аналитична в некоторой окрест-

ности точки z (кроме, быть может, самой этой точки). Вычетом функции f z в бесконечности называют величину

116

res f	1	f z dz ,	(5.6)
	2 i

где – достаточно большая окружность z R, проходимая

по часовой стрелке (так что окрестность точки z остается слева, как и в случае конечной точки z a).

Из этого определения следует, что вычет функции в бес-

конечности равен коэффициенту при z 1 в лорановском разложении f z в окрестности точки z , взятому с противо-

положным знаком:

res f c 1.	(5.7)
Известные разложения функций ez , sin z,	cosz , sh z ,

ch z можно рассматривать также как лорановские разложения в окрестности точки z . Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z , то перечисленные функции имеют в точке z существенную особенность.

Пример 17. Определить характер бесконечно удаленной точки и найти вычет в этой точке z для следующих функ-

ций: а) f z

z3 4z2 2z 5

б)

f z zsin

, в)

f z

z3 4z2 2z 5

, г) f z z3e1 z

, д)

f z

Решение. а) Запишем функцию в виде

f z

z3 4z2 2z 5

z z2

f z в

Это выражение можно рассматривать как разложение

ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Так

как lim f z 1, то точка z является устранимой особой

точкой. Здесь c 1 4 и, следовательно, res f c 1 4. 117

б) Разложим функцию в ряд по степеням z :
f z	1		1	1			1	1		1
	zsin		z					1					.
	zsin	z	z			3	5!z5	1	3!z2		5!z	4	.
		z	z 3!z			3	5!z5		3!z2		5!z	4
Так как	lim f z 1, то точка z является устранимой осо-
	z				1									1
бой точкой. Здесь c					1	и,	следовательно, res f							1	.
бой точкой. Здесь c						и,	следовательно, res f								.
			1	6									6

Из этих примеров видно, что вычет аналитической функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки, в отличие от конечной устранимой особой точки, может оказаться отличным от нуля.

в) Запишем функцию в виде

f z	z3 4z2 2z 5	z 4	2	5		.
	z2
			z		z2
Это разложение содержит z в первой степени,					поэтому особая
точка z является простым полюсом. Здесь					c 1 2 и, сле-
довательно, res f c 1 2 .

г) Разложим функцию в ряд по степеням z :

f z z3e1 z z3					1			1			1					1		1
			1
			1							3!z		3			4!z		4		5!z	5
						z 2!z2				3!z		3			4!z		4		5!z	5
z	3	z		2			z	1	1					1
z		z					2	6	4!z				5!z2
							2	6	4!z				5!z2

Это разложение содержит конечное число положительных степеней z . Максимальная степень равна 3, поэтому точка z

является полюсом третьего порядка. Здесь c					1		1	и,
является полюсом третьего порядка. Здесь c								и,
		1	1	4!		24
следовательно, res f c 1		1	.
следовательно, res f c 1			.
	24

д) Разложим функцию в ряд по степеням z :

f z ezz 1z 1 z z2 z3 z4 1z 1 z z2 z3

118

Это разложение содержит бесконечное число положительных степеней z , поэтому точка z является существенно особой

точкой. Здесь c 1	1 и, следовательно,	res f c 1 1.
Теорема 2.	Если функция f z	имеет в расширенной

комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Так что, если a1, a2,	, an – конечные особые точки
функции f z , то
n	n
res f res f ak 0 или	res f res f ak (5.8)
k 1	k 1

Последнее соотношение удобно использовать при вычислении некоторых интегралов.

	Пример 18. Вычислить интеграл													dz		.
	Пример 18. Вычислить интеграл													1 z	4	.
											z		2	1 z
											z		2
	Решение. Корни знаменателя подынтегральной функции
			1 i , z				1 i ,					1 i								1 i
z		2		2		2		z		2					, z		4		2
z	2				2			z							, z			2
1	2				2			3	2									2

являются простыми полюсами, так как функцию можно запи-

сать в виде	1						1			. Замечаем,
сать в виде		z	4	z z	z z	2	z z	z z	4	. Замечаем,
1		z	1			2	3		4

что все полюса z1, z2, z3, z4 лежат внутри контура интегриро-

вания на окружности z 1 (рис. 5.7). Поэтому по теореме Ко-

ши о вычетах имеем

		dz	4
			2 i res f zk .
		1 z4
z			k 1
	2

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022991.69 Кб2Учебное пособие 800221.pdf
#
01.05.2022993.74 Кб5Учебное пособие 800222.pdf
#
01.05.20221 Mб1Учебное пособие 800223.pdf
#
01.05.20221.01 Mб4Учебное пособие 800224.pdf
#
01.05.20221.02 Mб3Учебное пособие 800225.pdf
#
01.05.20221.02 Mб2Учебное пособие 800226.pdf
#
01.05.20221.03 Mб1Учебное пособие 800227.pdf
#
01.05.20221.03 Mб1Учебное пособие 800228.pdf
#
01.05.20221.03 Mб1Учебное пособие 800229.pdf
#
01.05.2022289.9 Кб1Учебное пособие 80023.pdf
#
01.05.20221.04 Mб4Учебное пособие 800230.pdf