Учебное пособие 800226

y

1

а уравнение (1.35) называется параметрическим уравнением

этой кривой. Неограниченная кривая (1.35) называется кусочно гладкой, если для каждого конечного кривая z (t),t является кусочно гладкой.

Аналогично определяются неограниченные кривые в случае, когда параметр t пробегает полуось t или всю числовую ось.

20

Пример 1.15. Какая кривая задается уравнением z c

z c 2a, где c и a – действительные положительные чис-

z c – расстояние между точками z и c. По условию сумма

расстояний от точки z до двух данных точек z1 c и z2 c есть величина постоянная. Значит, точка z лежит на эллипсе.

Рис. 1.5

Множество D точек расширенной комплексной плоскости называется областью, если это множество

21

открытое, т.е. для каждой точки, принадлежащей D, существует окрестность этой точки, принадлежащая D;

связное, т.е. любые две точки, принадлежащие D, можно соединить кривой, быть может, неограниченной, все точки которой принадлежат D.

Граничной точкой области D называется точка, в любой окрестности которой есть точки, принадлежащие D, и точки, не принадлежащие D. Множество граничных точек области называется границей этой области. Область D, дополненная всеми своими граничными точками, называется замыканием области D и обозначается D.

Всюду в дальнейшем будем рассматривать только такие области, границы которых состоят из конечного числа кусочно гладких кривых и изолированных точек. Кроме того, будем считать, что все граничные кривые области D ориентированы так, что при движении точки вдоль граничной кривой в направлении этой ориентации область D остается слева.

Пример 1.17. Границей области 0 z 2 1 является точка z 2 и окружность z 2 1, ориентированная против

часовой стрелки и проходимая один раз (рис. 1.6). Эту область

Граница на рисунке изображена штриховой линией, так как она не входит в область.

Рис. 1.6

22

Пример 1.18. Какое множество точек на комплексной

плоскости определяется условием arg z 1 i 3 ? 2 4

Решение. Комплексное число z 1 i z ( 1 i) изображается вектором, началом которого является точка 1 i, а концом – точка z . Угол между этим вектором и осью Ox есть

данное неравенство определяет угол между лучами, выходя-

y

1

-1 x

Рис. 1.7

Пример 1.19. Какое множество точек на плоскости комплексного переменного определяется условиями 1 z i 2,

argz . 4 2

23

Решение. Первое двойное неравенство определяет внутренность кольца с центром в точке z i и радиусами 1 и 2. Второе двойное неравенство определяет область межу лучами, выходящими из точки z 0 и образующими с осью Ox углы

сектором кольца (рис. 1.8). Так как заданы строгие неравенства, то граница не входит в область, и поэтому она изображена штриховой линией.

y

1

x

-1

Рис. 1.8

y

2

1

x

Рис. 1.9

Пример 1.20. Условие 1 Im z 2 определяет полосу 1 y 2 на комплексной плоскости (рис. 1.9).

Область D называется ограниченной, если существует такой круг K : z , что D K . Примерами ограниченных

областей являются области на рис. 1.6 и 1.8. Области на рис. 1.7 и 1.9 являются неограниченными.

Область D на комплексной плоскости называется односвязной, если любую замкнутую кривую, лежащую в D, можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области D. Образно односвязную область можно представить как лист бумаги произвольной формы, может быть, с разрезами по краям, но без «дырок» внутри. Примерами односвязных областей являются области на рис. 1.7, 1.8, 1.9. Область на рис. 1.6 является неодносвязной.

Определение односвязной области на расширенной комплексной плоскости такое же, как и на нерасширенной комплексной плоскости, только непрерывную деформацию кривой в точку z нужно рассматривать на сфере Римана.

Пример 1.21. Следующие области расширенной комплексной плоскости являются односвязными:

а) z 1;

б) вся расширенная комплексная плоскость;

в) z a – вся расширенная комплексная плоскость с выколотой точкой a.

Пример 1.22. Следующие области расширенной комплексной плоскости являются неодносвязными:

а) z 1, z i – вся расширенная комплексная плоскость с выколотыми точками 1 и i;

б) вся расширенная комплексная плоскость с разрезами по отрезкам 0, 1 и i, 2i ;

в) 1 z .

ГЛАВА 2 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

2.1. Основные понятия о функции комплексного переменного

Если каждому комплексному числу z D поставлено в соответствие некоторое комплексное число w, то говорят, что в области D определена функция w f z . Геометрически

заданную на D функцию w f z можно рассматривать как

отображение области D плоскости z на некоторое множест-

во G плоскости w , являющееся совокупностью значений

f z , соответствующим всем z D.

Один из наиболее употребляемых способов задания функции – задание с помощью формулы – в случае функций комплексной переменной часто приводит к многозначным функциям. Говорят, что в области D определена многозначная функция w f z , если каждой точке z D поставлено в со-

ответствие несколько комплексных чисел w.

Функция w f z называется однолистной в области

D, если любым различным значениям z1 z2, взятым из об-

может быть представлена с помощью двух действительных

u x, y Re f z , v x, y Im f z .

Пример 1. Найти действительную и мнимую части функ-

ции f z iz2 z .

Решение. Полагая z x iy, находим

f z u x, y iv x, y i x iy 2 x iy

i x2 2ixy y2 x iy x 2xy i x2 y2 y .

Таким образом

Re f z u x, y x 2xy , Im f z v x, y x2 y2 y .

Пример 2. Определить функцию w f z по известным

ности функции w z2 не должна содержать внутри себя точек, модули которых совпадают, а аргументы отличаются на , т.е. областью однолистности является любая полуплоскость, например Rez 0 или Im z 0.

Пример 5. Найти отображение, осуществляемое линейной функцией w az b .

Решение. Это отображение можно рассматривать как композицию трех простейших отображений. Действительно,

что w w1 w2 w3. Из геометрического смысла произведения и суммы комплексных чисел ясно, что отображение w1 есть отображение растяжения (сжатия при 0 a 1), отображение

w2 представляет собой поворот всей плоскости w1 относи-

тельно начала координат на угол arga и отображение w3

Решение. Данная функция является многозначной (имеет

определением корня из комплексного числа (1.30) находим

Основные элементарные функции комплексного переменного

Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называются основными элементарными.

1. Дробно-рациональная функция

2. Показательная функция ez определяется как сумма абсолютно сходящегося во всей комплексной плоскости сте-

пенного ряда ez 1 z z2 z3 zn . 2! 3! n!

Показательная функция ez обладает следующими свойствами:

функцией с периодом 2 i ;

в) функция ez непрерывна на всей комплексной плоскости; г) для любого комплексного z x iy имеют место равенст-

д) функция ez принимает все значения, кроме нуля, т.е.

уравнение ez A разрешимо для любого комплексного числа

A 0.

3. Тригонометрические функции sin z и cosz определя-

ются степенными рядами:

абсолютно сходящимися при всех значениях z .

Для функций ez , sin z и cosz имеют место формулы Эй-

лера: eiz cosz isin z и e iz cosz isin z. Откуда следует:

cosz eiz e iz и sin z eiz e iz . (2.1)

2 2i

Функции sin z и cosz обладают следующими свойства-

ми:

30

д) для тригонометрических функций остаются в силе все

Таким образом, свойства функций sh z и ch z непосредственно вытекают из свойств функций sin z и cosz . Отметим, в частности, что функции sh z и ch z непрерывны на всей комплексной плоскости. Имеют место формулы

Эта функция является многозначной. Главным значением называется то, которое получается при k 0; оно равно ln z ln z iarg z . Очевидно, что Ln z ln z 2k i . Для лога-

рифмической функции справедливы следующие соотношения:

пример, если z sin w, то w называется арксинусом числа z и обозначается w Arcsin z. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:

главные значения соответствующих логарифмических функций.

32

ся w Arsh z . Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:

Если a 1 (n N), то получаем многозначную функцию – ко- n

рень n-й степени из комплексного числа:

Главное значение этой многозначной функции равно ezlna .

Пример 7. Вычислить w sin z при z0 iln(2 5) . Решение. Согласно формулам (2.3) получаем

w0 sin z0 sin chln(2 5) icos shln(2 5)

ishln(2 5) i 1(eln(2 5) e ln(2 5))

2

33