Учебное пособие 800180
.pdf
Поскольку фигура содержит четыре симметричных элемента, то вычислим площадь четвертой части фигуры:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
||
1 |
|
1 |
16 |
16 |
|
4 |
|
|||||
S |
2 d |
cos 2 d |
sin 2 |
4. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
2 |
0 |
2 |
0 |
4 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда S 16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача №13. Вычислить длину дуги, заданной уравнени- |
||||||||||||
ем в |
прямоугольной |
системе |
координат |
y 6 e 2 x , |
||||||||
ln 2 x ln 4 .
Решение. Воспользуемся формулой:
b |
dy |
2 |
||
L |
|
|||
1 |
|
dx. |
||
|
||||
a |
dx |
|
||
Находим подынтегральную функцию: dydx y 2e 2 x ,
dy |
2 |
|
|
|||
1 4e 4 x . |
||||||
1 |
|
|
||||
|
||||||
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L ln 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Окончательно имеем: |
1 4e 4 x dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4e 4 x 1 t, x |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
|
dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 t 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
t |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
2 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
ln 2, |
t |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 |
ln 4, |
|
t2 |
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
65 / 8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
5 / 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
65 |
|
1 |
|
65 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
65 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
t 1 |
|
|
|
|
5 / 2 |
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
65 8 |
|
5 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Задача №14. Вычислить объем тела, полученного вра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щением вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной y 3sin x, y sin x, 0 x .
Решение.
b |
x y12 x dx. |
|
|
|
|
|
|
||||
Vx y22 |
|
|
|
|
|
|
|||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx 9sin 2 |
x sin 2 |
|
x dx 8 sin 2 x dx 8 |
1 |
cos 2x |
dx |
|||||
|
2 |
||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= 4 x |
|
sin 2x |
|
4 2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1975. 624 с.
2.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч.1.
3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.
31
СОДЕРЖАНИЕ
Задача № 1………………………………………….1 Задача № 2………………………………………….2 Задача № 3………………………………………….3 Задача № 4………………………………………….4 Задача № 5………………………………………….5 Задача № 6………………………………………….6 Задача № 7………………………………………….7 Задача № 8…………………………………..…..….9 Задача № 9…………………………………..…….10 Задача № 10……………………………….………12 Задача № 11……………………………….….……13 Задача № 12………………………………….……15 Задача № 13………………………………………..16 Задача № 14……………………………………..…17 Примеры решения заданий ……………………...19 Библиографический список………………….....31
32
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Интегрирование” по дисциплине «Математика» для студентов направления
15.03.01 «Машиностроение» профиль («Оборудование и технология сварочного производства»)
очной формы обучения
Составители: Горбунов Валерий Викторович
Костина Татьяна Ивановна Соколова Ольга Анатольевна
В авторской редакции
Компьютерный набор В.В. Горбунова
Подписано к изданию 20.11.2015.
Уч.- изд. л. 1,9. “C“.
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
33