Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800180

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

830.69 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

14.23.y ln x, x 2, y 0.

14.24.y x2 1, y x, x 0, x 1.

	x
14.25. y arcsin		,	x 0,	y		.
14.25. y arcsin		,	x 0,	y		.
	2				2
14.26. y x2 ,	x 2,		y 0.
x2 y 2

14.27.4 9 1.

14.28.y x2 2x 1, x 0, y 0.

14.29.y x3 , x 2, y 0.

14.30.y x2 2, x 0, y 3.

		ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задача				№1. Найти неопределенный интеграл
1				1


9 x	2	x	4	9	x dx .
9 x		x		9

Решение.

Представим интеграл в виде суммы двух интегралов, поскольку в каждом из получаемых интегралов требуются различные варианты замены переменной.

9 x

x dx =

9 x

dx .

t 9 x2 ,

t c

9 x2

c ,

dt 2xdx

9 x2

z x2 ,

2xdx

arctg

1				1			1	x2
1				1			1	x2
					x dx	9 x2		arctg		c .
					x dx	9 x2		arctg		c .
9 x	2	x	4	9			6		3
9 x		x		9			6		3

Задача №2. Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям.

а) x5 ln x dx.

Решение.

u ln x, du

ln x

ln x dx

dv x5 dx, v

x6 ln x x6 C . 6 36

б) x2 e x dx .

Решение:

u x2 ,

du 2xdx

2xe

dx.

dx,

v e

dv e

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

x2 e x 2 xe x dx u x,dv e x dx,

du dx

x2 e x 2xe x v e x

2 e x dx x2 e x 2xe x 2e x C.
Задача №3. Найти неопределѐнный интеграл		2x 1		dx .
Задача №3. Найти неопределѐнный интеграл	2	(x 2)	2	dx .
	x	(x 2)

Решение.

Подынтегральную функцию разложим на простейшие дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

2x 1

x 2 x 2 2

x 2

(x 2)2

2x 1 A x3 4x2 4x B x2 4x 4 C x3 2x2 Dx2 ,

A C 0,

x 2

4 A B 2C D 0,

4 A 4B 2,

4B 1.

, A

, C

, D

Имеем:

2x 1

2 2

x 2

2 4

x 2

C .

4(x

Задача №4. Найти неопределѐнный интеграл

dx .

(x2 9)(x2

x 1)

Решение.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби

1	Ax B	Cx D
			.
x 2 9 x 2 x 1	x2 9	x 2 x 1

Приведем к общему знаменателю и тождественно приравняем числители:

1 Ax x2 x 1 B x2 x 1 Cx x2 9 D(x2 9) .

x3		A C 0,
x3		A C 0,
x 2		A B D 0,
x		A B 9C 0,
x0		B 9D 1.

A						1			, B								8				, C			1	, D				9		.
A					73				, B							73					, C			73	, D			73			.
					73											73								73				73
												.
				Подставим найденные коэффициенты в разложение ра-
циональной функции:
																															x						8							x	9
																						1
																						1						73									73					73			73
																																														.
												x 2 9 x2 x 1																		x 2 1													x2 x 1			.
				Окончательно получим:
						dx														1				xdx				8dx										(x 9)dx

(x2																							x2			x2									x2
(x2		1)(x2								x 1)									73				x2		1	x2					1				x2					x 1
																																	1								17
																												x															dx
																												x															dx
	1						1																										2							2
	1						1			ln(x			2		1) 8arctgx																		2							2

	73						2																													1			2			3
	73						2																													1						3
																													x
																													x													4
																																				2						4
																																		1
																																		1
																													x								dx
																													x								dx
	1						1						2		1) 8arctgx																				2
										ln(x
	73						2			ln(x																						1					2			3
	73						2																									1								3
																											x
																											x
																																2								4
															1
															1
										d x
										d x
	1		17												2

	73		2								1			2				3
	73		2								1							3
								x
								x
											2							4
											2							4
																												22

1	1			1	ln x2	x 1	17		2x 1
		ln(x2	1) 8arctgx					arctg			c .
		ln(x2	1) 8arctgx					arctg			c .
73	2			2			3
73	2			2			3			3

Задача №5. Найти неопределѐнный интеграл

3cos x 4sin x 1 .

Решение.

Используем универсальную тригонометрическую подста-

новку tg

t :

t tg

, sin x

1 t 2

, cos x

1 t 2

3cos x 4sin x 1

x 2 arctg t, dx

2dt

1 t 2

2dt

t 2

4t 2

d (t 2)

t 2 6

t 2 4t 2

(t 2)2 6

t 2

c .

Задача №6. Найти неопределѐнный интеграл

2sin 2 x 5sin x cos x 2 cos 2 x .

Решение.

																									dx																		tgx t,
																																											tgx t,
																																																		dt


							2sin 2 x 5sin x cos x 2 cos 2 x																																			dx
							2sin 2 x 5sin x cos x 2 cos 2 x																																			dx						t	2		1
						dt												1											dt

			2t 2 5t 2															2				t 2					5t			25						9
																						t 2				2				16					16
																										2				16					16
																												t		5				3
																														5				3
1							dt													1			4																		1						t 2
1							dt													1			4							4				4							1						t 2
																									ln												c						ln									c
		2			(t		5	)	2					9							2		6		ln			t		5				3			c				3		ln			t					1	c
					(t			)																				t																		t
							4			16																				4				4																	2
						1				t 2													1						tgx 2
						1	ln			t 2							c						1		ln				tgx 2						c .
							ln										c								ln										c .
						3				t						1							3						tgx				1
										t				2															tgx			2
			Задача №7. Найти неопределѐнный интеграл
						dx

	23
	23			x 8							x 8
																												Решение.
													dx														x 8 t							6 ,						6t 5 dt								6				t 3 dt
													dx														x 8 t							6 ,						6t 5 dt												t 3 dt
							3																				dx 6t					5		dt					2t		2		t		3							t	2
							3																									5									2				3
						2 x 8													x 8
											6				(t 3			8 8)dt										6						2	2t			4							8
																															t																			dt
																			t 2												t																			dt
																			t 2																									t				2
																			t 3
																		6						t 2 4t 8ln(t 2)																			c
																		6						t 2 4t 8ln(t 2)																			c

																			3

												x 8
						6						x 8							3 x							8 46 x 8 8ln															6 x 8 2											c .
						6													3 x							8 46 x 8 8ln															6 x 8 2											c .
										3
										3

Задача №8. Вычислить определѐнный интеграл

Решение.

	3	x	2x
arctg

		2		dx .
4 x 2

		3	x		2x			3	x
2	arctg					2	arctg

			2			dx			2		dx
	4		x	2			4 x			2
0						0

Каждый из интегралов находится с щей замены переменной:

2		2x
				dx. .
	4	x	2
0

помощью подходя-

																x
									t arctg
									t arctg
	3	x														2
	3	x
arctg								dt					2dx					,					4						1	t 4	/ 4	4
		2																				1	4
		2											2									1			3
				dx								x		4										t		dt							.
			2	dx																				t		dt							.
4 x			2																			2							2		0	2048
4 x								x1		0,				t1		0,						2	0						2	4	0	2048
																							0							4

								x	2	2,				t	2	.
									2						2	4
																4
						t x 2 4
						t x 2 4
2x					dt				2xdx,							8			dt		ln t						8
																8
		dx																										ln 8 ln 4 ln 2 .
2		dx			x1	0, t1					4,																	ln 8 ln 4 ln 2 .
4 x					x1	0, t1					4,					4				t							4
					x2	2,				t2		8.				4
					x2	2,				t2		8.
	3	x		2x
arctg												4
arctg
		2					dx										ln 2.
4 x 2							dx					2048					ln 2.

Задача №9. Вычислить определѐнный интеграл

(x2 x 1) cos 3xdx.

Решение.

Используя формулу интегрирования по частям, получа-

ем:

											u x 2 x 1,									du (2x 1)dx,

2
(x 2 x 1) cos 3xdx											dv			cos 3xdx,								v		sin 3x
0											dv			cos 3xdx,								v		3
0

																			sin 3x 2x 1 dx
(x2		x 1) sin 3x										/ 2						2
(x2		x 1) sin 3x										/ 2						2

				3										0							3
				3										0				0			3
2					sin 3						1		2											u 2x 1,				du 2dx,
														2x 1 sin 3xdx
			1					2																						cos 3x
			1																											cos 3x
	4	2					3				3												dv sin 3xdx,					v
																							dv sin 3xdx,					v
													0																		3
																cos 3x 2x 1

			2					1			1													/ 2		2	2
																											cos 3xdx
																											cos 3xdx
		12 6 3 3																	3					0		3	0

	2																sin 3x					/ 2			2

						1			1	1					2														2		2
																																.
																																.
	12 6 3 9														9				3			0			12 6 9 27

Задача №10. Вычислить определенный интеграл

x 4 1 x 2 dx.

Решение.

						x sin t
						x sin t
						dx cos tdt
1						dx cos tdt							2
x 4	1 x 2 dx					x1	0, t1		0				sin 4 t		1 sin 2		t cos t dt
0													0
						x2	1, t2
						x2	1, t2				2
											2

2		4		2			1	2	2			1 cos2t				1	2
sin			t cos		t dt			sin		2t				dt			1 cos 4t dt
sin			t cos		t dt			sin		2t				dt			1 cos 4t dt
0							4	0				2				16	0
												26


1	2				1		/ 2	1			/ 2	1	2	sin 2 2t d sin 2t
1					1		/ 2	1			/ 2	1

8		sin 2 2t cos 2tdt				t	0		sin 4t		0
		sin 2 2t cos 2tdt			16	t		4	sin 4t			16
	0				16			4				16	0
			sin 3 2t	/ 2			0			.
			sin 3 2t	/ 2
				0
32			48	0	32			32

Задача №11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y x 1 2 и y2 x 1 (рис. 1).

	y
	1
	M2
M1
-1	0	x

Рис. 1

Решение.

Для нахождения площади фигуры требуется описать фигуру как вариант усеченной криволинейной трапеции. Найдем абсциссы точек пересечения данных кривых, которые укажут границы отрезка интегрирования.

Имеем:

x 1 2 x 1 , x 1 4 x 1 0 , x 1 x 1 3 1 0 ,

x 1 x3 3x2 3x 0 , x 1 x x2 3x 3 0 .

Корнями данного уравнения являются числа x1 1 и

x2 0 .

Вычислим площадь, используя формулу

					b
				S y2			x y1		x dx.
					а
	Имеем:
0					3				3
0					3				3
S			x 1 2	dx	x 1 2			0	x 1	0	2	1	1	.
		x 1			x 1 2			0	x 1	0	2	1	1
		x 1				3		1		1
1						3		1	3	1	3	3	3
					2

Задача №12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, уравнение которой задано в полярной системе коор-

динат: 4cos 2 .

Решение.

Найдем пределы интегрирования из условия cos 2 0 .

Тогда		2k 2		2k	или		k		k .
	2		2			4		4

Для фигуры, называемой лемнискатой Бернулли (рис.2), раз-

решенными оказываются отрезки					,	при k 0 и

				4	4
3	,	5	при k 1 .

4		4
			3
			4			4	cos 2
			4		4	4	cos 2
					4
			O				ρ
			O
			Рис. 2
			28

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022817.17 Кб2Учебное пособие 800176.pdf
#
01.05.2022819.34 Кб5Учебное пособие 800177.pdf
#
01.05.2022822.02 Кб3Учебное пособие 800178.pdf
#
01.05.2022828.65 Кб1Учебное пособие 800179.pdf
#
01.05.2022267.49 Кб3Учебное пособие 80018.pdf
#
01.05.2022830.69 Кб1Учебное пособие 800180.pdf
#
01.05.2022830.94 Кб1Учебное пособие 800181.pdf
#
01.05.2022833.27 Кб1Учебное пособие 800182.pdf
#
01.05.2022840.72 Кб1Учебное пособие 800183.pdf
#
01.05.2022841.94 Кб1Учебное пособие 800184.pdf
#
01.05.2022846.91 Кб2Учебное пособие 800185.pdf