Учебное пособие 800120

В противном случае продолжаем вычисления.

Из имеющихся четырех точек 1, 2, 3, * выбираем три наиболее близких к точке минимума целевой функции f() точки , , . Чтобы получить точки , , из точек 1,

2, 3, *, достаточно исключить точку с наибольшим значением функции f(1), f(2), f(3), f(*), а затем проверить для трех оставшихся точек выполнение условия

< < , f( )>f( ), f( )<f( ).

6. В полученных точках 1= , 2= , 3= вычисляем f(1), f(2), f(3) и переходим к пункту 3.

4.10.2. Метод кубической интерполяции

Метод кубической интерполяции (метод Давидона) обеспечивает большую точность при выборе оптимальной величины шага в методах наискорейшего спуска и ДФП по сравнению с методом квадратичной интерполяции.

Целевая функция одной переменной f( ) аппроксимируется функцией С 2D3. Для вычисления коэффициентов А, В, С, D кубического полинома необходимо знать значения аппроксимируемой функции f() и ее производной в двух точках p и q (fp=f(p), fq=f(q), Gp=f / (p), Gq=f /(q)) и решить систему уравнений:

p fp

q fq

/q Gq .

Рассмотрим основные шаги метода кубической интерполяции.

79

1. Исходными данными является требуемая точность метода .

2.Точки p и q задаем так, чтобы интервал (p,q)содержал точку минимума функции f( ).

Выбираем p=0 и проверяем, справа или слева от точки p находится точка минимума * (если f / (p)<0, то функция убывает и минимум находится справа от p, в противном случае – возрастает, и минимум – слева от p).

Точку q выбираем в направлении убывания функции. Теперь нужно подобрать расстояние от q до p (p=0) так, чтобы p,q .

Для этого задают произвольно величину q и проверяют, выполнено ли хотя бы одно из условий f (p)< f (q) или f / (q)>0. Если ни одно из условий не выполнено, удваиваем расстояние от p до q до тех пор пока

p,q .

3.По формуле (3.15) находим *1.

4.Проверим, можно ли точку * считать точкой

минимума с точностью , то есть f / (*k+1) ,

k=0,1, ... Если условие прекращения поиска выполнено, то задача решена и *= *k+1. В противном случае продолжаем вычисления.

5. Если f / (*k+1)>0 , то выбираем вместо интервала (p,q) интервал (p, *k+1), в противном случае – (*k+1,q), то есть тот интервал, который содержит точку минимума и переходим к пункту 3 данного алгоритма.

Ввопросы для самопроверки

1.Что такое параметрическая оптимизация?

2.Как выбрать критерии качества?

3.В каком виде можно записать любое ограничение?

4.Что такое область работоспособности?

5.Могут ли критерии качества быть противоречивыми?

80