Задачи для самостоятельного решения

1. Катушка длиной содержит витков. По обмотке катушки идёт ток . Диаметр катушки равен . Определить магнитную индукцию в точке, лежащей на оси катушки на расстоянии от её конца.

Ответ: _.

2. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром . Витки плотно прилегают друг к другу. Считая катушку достаточно длинной, найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в .

Ответ: В=1,57мТл.

3. Из проволоки диаметром надо намотать соленоид, внутри которого индукция должна быть равна 30,17мТл. Предельная сила тока, которую можно пропускать по проволоке равна . Из какого числа слоёв будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с её длиной.

Ответ: из слоёв.

4. Требуется получить индукцию магнитного поля, равную 1267мкТл, в соленоиде длиною и диаметром . Найти: 1) число ампер-витков, необходимых для этого соленоида, 2) разность потенциалов, которую надо приложить к концам обмотки, если для неё употребляется медная проволока диаметром . Считать поле соленоида однородным.

Ответ: NI=200 ампер-витков.

5. Какую ошибку мы допускаем, при нахождении индукции магнитного поля в центре соленоида, принимая соленоид задачи 3.4 за бесконечно длинный?

Ответ: .

6. Обмотка соленоида выполнена тонким проводом, плотно прилегающими друг к другу витками. Длина катушки равна , её диаметр . По обмотке идёт ток. Вычислить размеры участка на осевой линии, в пределах которого магнитная индукция может быть рассчитана по формуле бесконечного соленоида с погрешностью не превышающей .

Ответ: ; границы участка отстоят от концов катушки на .

3. Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции к расчёту полей Основные законы и формулы

• Теорема о циркуляции вектора :

.

Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов и . В некоторых случаях – при наличии специальной симметрии – теорема о циркуляции оказывается эффективной, позволяя очень просто находить .

• Закон полного тока:

.

Примеры решения задач

1. Ток течёт по бесконечно длинному прямому проводу, имеющему круглое сечение, радиусом . Найти индукцию поля снаружи и внутри провода.

Решение.

Линии вектора должны иметь вид окружности, с центром на оси провода. Применим теорему о циркуляции

вектора для кругового контура радиусом (рис. 3.1 а): ,

г де , - поверхностная плотность тока.

Н

Рис. 3.1 а

айдем магнитную индукцию внутри проводника

.

Поле вне проводника определяется из условия

.

З

Рис. 3.1 б

ависимость показана на рис. 3.1 б.

Рис. 4.2 а

2. Бесконечно длинный цилиндрический коаксиальный кабель состоит из двух проводников, внутреннего радиуса и внешних радиусов и . Ток интенсивности во внутреннем и внешнем проводниках течёт в противоположных направлениях. Найти индукцию магнитного поля во всех точках коаксиального кабеля. Построить график зависимости индукции от расстояния от оси.

Решение.

Л

Рис. 3.2 а

инии магнитной индукции имеют вид окружностей с центром на оси проводника. Применим теорему о циркуляции вектора для контуров различного радиуса .1) (рис.3.2 а), ,

где - поверхностная плотность тока, - площадь охватываемая контуром. , .

2) , , .

3) , , .

4) , , .

5) , ,

.

6) ,

,

.

На рис. 3.2 б представлен график зависимости индукции от расстояния от оси проводника. Из данного графика следует, что магнитное поле сосредоточено внутри коаксиального кабеля.

3

Рис. 3.3

. Внутри однородного длинного прямого провода кругового сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние . По проводу течёт постоянный ток плотности .

Найти магнитную индукцию внутри полости.

Решение.

Искомую величину можно представить согласно принципу суперпозиции, как

,

где - магнитная индукция в том случае, если бы проводник был сплошным (без полости), а - магнитная индукция поля в той же точке от тока, текущего в противоположном направлении по части провода, которая удалена, образовав полость кругового сечения.

Найдём внутри сплошного провода на расстоянии от его оси (рис. 3.3). Воспользовавшись теоремой о циркуляции, запишем

.

Найдём также

.

Представим полученные равенства в векторной форме, учитывая, что - взаимно перпендикулярны, и искомую величину найдём из принципа суперпозиции

,

где .

Окончательно

.

4. Ток течет по длинному прямому проводнику круглого сечения. Пренебрегая влиянием вещества проводника, найти магнитный поток через одну из половин его осевого сечения в расчёте на один метр длины.

Решение.

Искомый поток будем искать через сечение 1234 (рис. 3.4). Для этого воспользуемся стандартной формулой для расчёта потока и применим теорему о циркуляции вектора магнитной индукции

,

,

где .

Для контура радиуса r можно записать

Рис. 3.4

.

Поток через половину осевого сечения высотой найдётся как

.

Поток на один метр длины проводника найдём, поделив найденное значение на

.

5. Определить индукцию магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей витков, идёт ток . Внешний диаметр тороида равен , внутренний .

Решение.

Для контура радиуса , проходящего внутри тороида, обмотка которого содержит витков, в соответствии с теоремой о циркуляции, можно написать

Учитывая, что - средняя линия тороида

,

найдём .

6. На рис.3.5 показан кольцевой соленоид прямоугольного сечения. Найти магнитный поток через это сечение, если ток в обмотке , полное число витков , отношение внешнего диаметра к внутреннему и толщина .

Решение.

Для контура радиусом , проходящего внутри соленоида, содержащего витков, можно написать

.

Магнитный поток через элемент поверхности высотой и шириной равен

.

Полный магнитный поток через сечение соленоида найдётся интегрированием по в пределах от до

.